Transformación geométrica

En matemáticas , una transformación geométrica es cualquier biyección de un conjunto hacia sí mismo (o hacia otro conjunto similar) con algún sustento geométrico sobresaliente. ^[1] Más específicamente, es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de puntos, la mayoría de las veces ambos${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ o ambos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$- tal que la función sea inyectiva de modo que exista su inversa . ^[2] El estudio de la geometría puede abordarse mediante el estudio de estas transformaciones. ^[3]

Clasificaciones

Las transformaciones geométricas se pueden clasificar por la dimensión de sus conjuntos de operandos (distinguiendo así entre, digamos, transformaciones planas y transformaciones espaciales). También se pueden clasificar según las propiedades que conservan:

• Los desplazamientos conservan distancias y ángulos orientados (por ejemplo, traslaciones ); ^[4]
• Las isometrías conservan ángulos y distancias (por ejemplo, transformaciones euclidianas ); ^{[5] [6]}
• Las similitudes preservan los ángulos y las proporciones entre las distancias (por ejemplo, cambio de tamaño); ^[7]
• Las transformaciones afines preservan el paralelismo (p. Ej., Escalado , cizallamiento ); ^{[6] [8]}
• Las transformaciones proyectivas preservan la colinealidad ; ^[9]

Cada una de estas clases contiene la anterior. ^[9]

• Las transformaciones de Möbius que utilizan coordenadas complejas en el plano (así como la inversión circular ) conservan el conjunto de todas las líneas y círculos, pero pueden intercambiar líneas y círculos.

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  Imagen original (basada en el mapa de Francia)

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  Isometria

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  Semejanza

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  Transformacion afin

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  Transformación proyectiva

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  inversión

• Los difeomorfismos (transformaciones bidiferenciables) son las transformaciones afines de primer orden; contienen los anteriores como casos especiales y pueden perfeccionarse aún más. ^[10]
• Las transformaciones conformales conservan ángulos y son, en primer orden, similitudes.
• Transformaciones equiáreas , preservan áreas en el caso plano o volúmenes en el caso tridimensional. ^[11] y son, en primer orden, transformaciones afines del determinante 1.
• Los homeomorfismos (transformaciones bicontinuas) preservan las vecindades de los puntos.

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  Transformación conforme

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  Transformación equiareal

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  Difeomorfismo

• 

  Homeomorfismo

Las transformaciones del mismo tipo forman grupos que pueden ser subgrupos de otros grupos de transformación.

Acciones de grupo opuesto

Muchas transformaciones geométricas se expresan con álgebra lineal. Las transformaciones lineales biyectivas son elementos de un grupo lineal general . La transformación lineal A no es singular. Para un vector de fila v , el producto matricial vA da otro vector de fila w = vA .

La transpuesta de un vector fila v es un vector columna v ^T , y la transpuesta de la igualdad anterior es${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$Aquí A ^T proporciona una acción izquierda sobre los vectores columna.

En geometría de transformación hay composiciones AB . Comenzando con un vector fila v , la acción correcta de la transformación compuesta es w = vAB . Después de la transposición,

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

Por lo tanto, para AB, la acción asociada del grupo izquierdo es${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$En el estudio de grupos opuestos , se hace la distinción entre acciones de grupos opuestos para los únicos grupos para los cuales estos opuestos son iguales son grupos conmutativos.

Ver también

• Programa Erlangen
• Reflexión
• Transformación rígida
• Rotación
• Topología
• Matriz de transformación

Referencias

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - transformación" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
2. Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto - Matemáticas para profesores de secundaria: una perspectiva avanzada , página 84.
3. Venema, Gerard A. (2006), Fundamentos de la geometría , Pearson Prentice Hall , p. 285, ISBN 9780131437005
4. "Traducción de geometría" . www.mathsisfun.com . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
5. "Transformaciones geométricas - Transformaciones euclidianas" . pages.mtu.edu . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
6. Transformación geométrica , p. 131, en Google Libros
7. "Transformaciones" . www.mathsisfun.com . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
8. "Transformaciones geométricas - Transformaciones afines" . pages.mtu.edu . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
9. Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs - ' Transformación geométrica , p. 182, en Google Libros
10. stevecheng (13 de marzo de 2013). "primera forma fundamental" (PDF) . planetmath.org . Consultado el 1 de octubre de 2014 .
11. Transformación geométrica , p. 191, en Google Books Bruce E. Meserve - Conceptos fundamentales de geometría, página 191.]

Lectura adicional

• Adler, Irving (2012) [1966], Una nueva mirada a la geometría , Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Golding, EW (1967). Geometría a través de transformaciones (3 vols.): Geometría de distorsión , Geometría de congruencia y Grupos y coordenadas . Nueva York: Herder and Herder.
• David Gans - Transformaciones y geometrías .
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). La geometría y la imaginación (2ª ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
• John McCleary: geometría desde un punto de vista diferenciable .
• Modenov, PS; Parkhomenko, AS (1965). Transformaciones geométricas (2 vols.): Transformaciones euclidianas y afines y transformaciones proyectivas . Nueva York: Academic Press.
• AN Pressley - Geometría diferencial elemental .
• Yaglom, IM (1962, 1968, 1973, 2009). Transformaciones geométricas (4 vols.). Casa aleatoria (I, II y III), MAA (I, II, III y IV).