Las funciones máximas aparecen de muchas formas en el análisis armónico (un área de las matemáticas ). Una de las más importantes es la función máxima de Hardy-Littlewood . Desempeñan un papel importante en la comprensión, por ejemplo, de las propiedades de diferenciabilidad de funciones, integrales singulares y ecuaciones diferenciales parciales. A menudo proporcionan un enfoque más profundo y simplificado para comprender los problemas en estas áreas que otros métodos.
En su artículo original, GH Hardy y JE Littlewood explicaron su desigualdad máxima en el lenguaje de los promedios de cricket . Dada una función f definida en R n , la función máxima no centrada de Hardy-Littlewood Mf de f se define como
en cada x en R n . Aquí, el supremo se toma sobre las bolas B en R n que contienen el punto x y | B | denota la medida de B (en este caso un múltiplo del radio de la pelota elevado a la potencia n ). También se puede estudiar la función máxima centrada, donde el supremo se toma justo sobre las bolas B que tienen el centro x . En la práctica hay poca diferencia entre los dos.
La propiedad (b) se denomina límite de tipo débil de Mf . Para una función integrable, corresponde a la desigualdad elemental de Markov ; sin embargo, Mf nunca es integrable, a menos que f = 0 en casi todas partes, por lo que la prueba del límite débil (b) para Mf requiere un argumento menos elemental de la teoría de la medida geométrica, como el lema de cobertura de Vitali . La propiedad (c) dice que el operador M está acotado en L p ( R n ); es claramente cierto cuando p= ∞, ya que no podemos tomar un promedio de una función acotada y obtener un valor mayor que el valor más grande de la función. La propiedad (c) para todos los demás valores de p puede deducirse de estos dos hechos mediante un argumento de interpolación .
Vale la pena señalar que (c) no se cumple para p = 1. Esto se puede demostrar fácilmente calculando M χ, donde χ es la función característica de la bola unitaria centrada en el origen.
El operador maximal de Hardy-Littlewood aparece en muchos lugares, pero algunos de sus usos más notables se encuentran en las pruebas del teorema de diferenciación de Lebesgue y el teorema de Fatou y en la teoría de los operadores integrales singulares .