En matemáticas , el lema de cobertura de Vitali es un resultado combinatorio y geométrico comúnmente utilizado en la teoría de la medida de los espacios euclidianos . Este lema es un paso intermedio, de interés independiente, en la demostración del teorema de cobertura de Vitali . El teorema de cobertura se le atribuye al matemático italiano Giuseppe Vitali . [1] El teorema establece que es posible cubrir, hasta un conjunto insignificante de Lebesgue , un subconjunto dado E de R d mediante una familia disjunta extraída de una cobertura de Vitali deE .
Vitali cubriendo la lema
Declaración del lema
- Versión finita: Letser cualquier colección finita de bolas contenidas en el espacio euclidiano d- dimensional R d (o, más generalmente, en un espacio métrico arbitrario ). Entonces existe una subcolección de estas bolas que son inconexas y satisfacen
- dónde denota la bola con el mismo centro que pero con tres veces el radio.
- Versión infinita: Letser una colección arbitraria de bolas en R d (o, más generalmente, en un espacio métrico separable) tal que
- dónde denota el radio de la bola B j . Entonces existe una subcolección contable
- de bolas de la colección original que son disjuntas y satisfacen
Comentarios
- Las bolas pueden tener la forma B = { y : d ( y , c ) < r } (una bola abierta con centro cy radio r ) o B = { y : d ( y , c ) ≤ r }. Entonces 3 B (o 5 B ) denota la bola de la misma forma, con 3 r (o 5 r ) reemplazando r . Observe que la definición de bolas requiere r > 0.
- En la versión infinita , la colección de bolas puede ser contable o incontable .
- El resultado puede fallar si los radios no están acotados: considere la familia de todas las bolas centradas en 0 en R d ; cualquier subfamilia disjunta consta de una sola bola B , y 5 B no contiene todas las bolas de esta familia.
- En el contexto de un espacio métrico general (es decir, no necesariamente separable), la subcolección resultante puede no ser infinitamente numerable.
Prueba
Versión finita
Sin pérdida de generalidad, asumimos que la colección de bolas no está vacía; es decir, n > 0. Seaser la bola de mayor radio. Inductivamente, suponga quehan sido elegidos. Si hay algo de bola en que es disjunto de , dejar sea tal bola con radio máximo (rompiendo lazos arbitrariamente), de lo contrario, establecemos m : = k y terminamos la definición inductiva.
Ahora establezca . Queda por demostrar que para cada . Esto es claro si. De lo contrario, necesariamente haytal que B i se cruza y el radio de es al menos tan grande como la de B i . La desigualdad del triángulo entonces implica fácilmente que, según sea necesario. Esto completa la prueba de la versión finita.
Versión infinita
Sea F la colección de todas las bolas B j , j ∈ J , que se dan en el enunciado del lema de cobertura . El siguiente resultado proporciona una cierta disjuntos subcolección G de F . Si esta subcolección G se describe como, la propiedad de G , que se indica a continuación, prueba fácilmente que
Forma precisa del lema de cobertura. Sea F una colección de bolas (no degeneradas) en un espacio métrico, con radios acotados. Existe una subcolección disjunta G de F con la siguiente propiedad:
- toda bola B en F se cruza con una bola C en G tal que B ⊂ 5 C.
( Bolas degenerados sólo contienen el centro, sino que se excluyen de esta discusión.)
Let R sea el supremo de los radios de bolas en F . Considere la partición de F en subcolecciones F n , n ≥ 0, que consta de bolas B cuyo radio está en (2 - n −1 R , 2 - n R ]. Se define una secuencia G n , con G n ⊂ F n inductivamente de la siguiente manera. Primero, establezca H 0 = F 0 y sea G 0 una subcolección disjunta máxima de H 0. Suponiendo que se han seleccionado G 0 , ..., G n , supongamos
y sea G n +1 una subcolección disjunta máxima de H n +1 . La subcolección
de F satisface los requisitos de: G es una colección disjuntos, y cada bola B ∈ F intersecta un balón C ∈ G tal que B ⊂ 5 C .
De hecho, sea n tal que B pertenece a F n . O B no pertenece a H n , lo que implica n > 0 y significa que B corta una bola de la unión de G 0 , ..., G n −1 , o B ∈ H n y por maximalidad de G n , B intersecta una bola en G n . En cualquier caso, B corta una bola C que pertenece a la unión de G 0 , ..., G n . Tal balón C tiene un radio> 2 - n -1 R . Dado que el radio de B es ≤ 2 - n R , es menos del doble que el de C y la conclusión B ⊂ 5 C se deriva de la desigualdad del triángulo como en la versión finita. [2]
Observaciones
- La constante 5 no es óptima. Si se usa la escala c - n , c > 1, en lugar de 2 - n para definir F n , el valor final es 1 + 2 c en lugar de 5. Cualquier constante mayor que 3 da una declaración correcta del lema, pero no 3.
- En el caso más general de un espacio métrico arbitrario, la selección de una subcolección disjunta máxima requiere una forma del lema de Zorn .
- Usando un análisis más fino, cuando la colección original F es una cobertura Vitali de un subconjunto E de R d , se muestra que la subcolección G , definida en la prueba anterior, cubre E hasta un conjunto insignificante de Lebesgue. [3]
Aplicaciones y método de uso
Una aplicación del lema Vitali es demostrar la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood . Como en esta prueba, el lema Vitali se usa con frecuencia cuando, por ejemplo, estamos considerando la medida d- dimensional de Lebesgue ,, de un conjunto E ⊂ R d , que sabemos que está contenido en la unión de una cierta colección de bolas, cada uno de los cuales tiene una medida que podemos calcular más fácilmente, o tiene una propiedad especial que nos gustaría explotar. Por lo tanto, si se calcula la medida de esta unión, tendremos un límite superior en la medida de E . Sin embargo, es difícil calcular la medida de la unión de todas estas bolas si se superponen. Según el lema Vitali, podemos elegir una subcolección que es inconexo y tal que . Por lo tanto,
Ahora, dado que aumentar el radio de una bola d- dimensional en un factor de cinco aumenta su volumen en un factor de 5 d , sabemos que
y por lo tanto
Teorema de cobertura vitali
En el teorema de cobertura, el objetivo es cubrir, hasta un "conjunto insignificante", un conjunto dado E ⊆ R d mediante una subcolección disjunta extraída de una cobertura Vitali para E : una clase Vitali o cobertura Vitali para E es una colección de conjuntos tal que, para cada x ∈ E y δ > 0, hay un conjunto U en la coleccióntal que x ∈ U y el diámetro de U es distinto de cero y menor que δ .
En el escenario clásico de Vitali, [1] el conjunto insignificante es un conjunto insignificante de Lebesgue , pero también se han considerado medidas distintas de la medida de Lebesgue y espacios distintos de R d , como se muestra en la sección correspondiente a continuación.
La siguiente observación es útil: si es una cobertura de Vitali para E y si E está contenido en un conjunto abierto Ω ⊆ R d , entonces la subcolección de conjuntos U enque están contenidos en Ω es también una Vitali cubriendo a E .
Teorema de cobertura de Vitali para la medida de Lebesgue
El siguiente teorema de cobertura para la medida de Lebesgue λ d se debe a Lebesgue (1910) . Una colecciónde subconjuntos medibles de R d es una familia regular (en el sentido de Lebesgue ) si existe una constante C tal que
para cada conjunto V de la colección.
La familia de los cubos es un ejemplo de familia regular., como es la familia ( m ) de rectángulos en R 2 tal que la razón de lados se mantenga entre m −1 y m , para un m fijo ≥ 1. Si se da una norma arbitraria sobre R d , la familia de bolas para la métrica asociada a la norma es otro ejemplo. Por el contrario, la familia de todos los rectángulos en R 2 no es regular.
Teorema. Sea E ⊆ R d un conjunto medible con medida de Lebesgue finita, y seaser una familia regular de subconjuntos cerrados de R d que es un Vitali cubriendo para E . Entonces existe una subcolección disjunta finita o numerablemente infinita tal que
El resultado original de Vitali (1908) es un caso especial de este teorema, en el que d = 1 yes una colección de intervalos que es una cobertura de Vitali para un subconjunto medible E de la línea real que tiene una medida finita.
El teorema anterior sigue siendo cierto sin asumir que E tiene una medida finita. Esto se obtiene aplicando el resultado de cobertura en el caso de medida finita, para cada entero n ≥ 0, a la porción de E contenida en el anillo abierto Ω n de puntos x tal que n <| x | < n +1. [4]
Un teorema de cobertura algo relacionado es el teorema de cobertura de Besicovitch . A cada punto a de un subconjunto A ⊆ R d , se le asigna una bola euclidiana B ( a , r a ) con centro a y radio positivo r a . Luego, como en el teorema de Vitali, se selecciona una subcolección de estas bolas para cubrir A de una manera específica. Las principales diferencias con el teorema de cobertura de Vitali son que, por un lado, el requisito de disjunción de Vitali se reduce al hecho de que el número N x de las bolas seleccionadas que contienen un punto arbitrario x ∈ R d está acotado por una constante B d que depende solo sobre la dimensión d ; por otro lado, las bolas seleccionadas cubren el conjunto A de todos los centros dados. [5]
Teorema de cobertura de Vitali para la medida de Hausdorff
Uno puede tener un objetivo similar al considerar la medida de Hausdorff en lugar de la medida de Lebesgue. El siguiente teorema se aplica en ese caso. [6]
Teorema. Deje H s denotan s -dimensional medida de Hausdorff, dejar que E ⊆ R d ser un H s - medible set yClase A Vitali de conjuntos cerrados de E . Entonces existe una subcolección disjunta (finita o infinitamente contable) tal que ya sea
Además, si E tiene una medida de Hausdorff finita s -dimensional, entonces para cualquier ε > 0, podemos elegir esta subcolección { U j } tal que
Este teorema implica el resultado de Lebesgue dado anteriormente. De hecho, cuando s = d , la medida de Hausdorff H s en R d coincide con un múltiplo de la medida d- dimensional de Lebesgue. Si una colección disjuntaes regular y está contenido en una región B medible con medida de Lebesgue finita, entonces
lo que excluye la segunda posibilidad en la primera afirmación del teorema anterior. De ello se deduce que E está cubierto, hasta un conjunto insignificante de Lebesgue, por la subcolección disjunta seleccionada.
Del lema de cobertura al teorema de cobertura
El lema de cobertura se puede utilizar como paso intermedio en la demostración de la siguiente forma básica del teorema de cobertura de Vitali. En realidad, se necesita un poco más, a saber, la forma precisa del lema de cobertura obtenido en la "prueba de la versión infinita" .
- Teorema. Para cada subconjunto E de R d y cada cobertura de Vitali de E por una colección F de bolas cerradas, existe una subcolección disjunta G que cubre E hasta un conjunto insignificante de Lebesgue.
Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que todas las bolas en F son no degeneradas y tienen un radio ≤ 1. Por la forma precisa del lema de cobertura , existe una subcolección disjunta G de F tal que cada bola B ∈ F interseca una bola C ∈ G para la que B ⊂ 5 C . Sea r > 0, y sea Z el conjunto de puntos z ∈ E que no están contenidos en ninguna bola de G y pertenecen a la bola abierta B ( r ) de radio r , centrada en 0. Es suficiente mostrar que Z es insignificante para Lebesgue, para cada r dado .
Sea G la subcolección de esas bolas en G que se encuentran con B ( r ). Considere la partición de G en conjuntos G n , n ≥ 0, que constan de bolas que tienen un radio en (2 −n − 1 , 2 −n ]. Cualquier bola B en F que se encuentra con B ( r ) está contenida en B ( r +2). De la propiedad de disjunción de G se sigue que
Esto implica que G n es un conjunto finito para cada n . Dado ε > 0, podemos seleccionar N tal que
Sea z ∈ Z fijo. Por definición de Z , este punto z no pertenece al conjunto cerrado K igual a la (finito) unión de las bolas en G k , k ≤ N . Por la propiedad cubierta Vitali, uno puede encontrar un balón B ∈ F que contiene z , contenido en B ( r ) y disjunta de K . Por la propiedad de G , la bola B se encuentra con C y está incluido en 5 C por alguna balón C ∈ G . Uno ve que C ∈ G porque C intersecta B ( r ), pero C no pertenece a ninguna familia G k , k ≤ N , ya que B cumple C pero es disjunta de K . Esto prueba que todo punto z ∈ Z está contenido en la unión de 5 C , cuando C varía en G n , n > N , por lo tanto
y
Dado que ε > 0 es arbitrario, esto muestra que Z es despreciable. [7]
Espacios de dimensión infinita
El teorema de cobertura de Vitali no es válido en entornos de dimensión infinita. El primer resultado en esta dirección fue dado por David Preiss en 1979: [8] existe una medida gaussiana γ en un espacio H de Hilbert separable (de dimensión infinita) de modo que el teorema de cobertura de Vitali falla para ( H , Borel ( H ), γ ). Este resultado fue reforzado en 2003 por Jaroslav Tišer: el teorema de cobertura de Vitali de hecho falla para cada medida gaussiana de dimensión infinita en cualquier espacio de Hilbert separable (de dimensión infinita). [9]
Ver también
Notas
- ↑ a b ( Vitali 1908 ).
- ^ La prueba dada se basa en ( Evans & Gariepy 1992 , sección 1.5.1)
- ^ Consulte lasección " Del lema de cobertura al teorema de cobertura " de esta entrada.
- ^ Ver ( Evans y Gariepy 1992 ).
- ↑ Vitali (1908) permitió un error insignificante.
- ↑ ( Falconer, 1986 ).
- ↑ La prueba dada se basa en ( Natanson 1955 ), con alguna notación tomada de ( Evans & Gariepy 1992 ).
- ^ ( Preiss 1979 ).
- ↑ ( Tišer, 2003 ).
Referencias
- Evans, Lawrence C .; Gariepy, Ronald F. (1992), Teoría de la medida y propiedades finas de las funciones , Estudios en matemáticas avanzadas, Boca Raton, FL : CRC Press , págs. Viii + 268, ISBN 0-8493-7157-0, MR 1158660 , Zbl 0.804,28001
- Falconer, Kenneth J. (1986), La geometría de conjuntos fractales , Cambridge Tracts in Mathematics, 85 , Cambridge: Cambridge University Press , págs. Xiv + 162, ISBN 0-521-25694-1, MR 0867284 , Zbl 0.587,28004
- "Teorema de Vitali" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Lebesgue, Henri (1910), "Sur l'intégration des fonctions discontinues" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 27 : 361–450, doi : 10.24033 / asens.624 , JFM 41.0457.01
- Natanson, I. P (1955), Teoría de funciones de una variable real , Nueva York: Frederick Ungar Publishing Co. , p. 277, MR 0.067.952 , Zbl 0.064,29102
- Preiss, David (1979), "Medidas gaussianas y teoremas de cobertura", Commentatione Mathematicae Universitatis Carolinae , 20 (1): 95–99, ISSN 0010-2628 , MR 0526149 , Zbl 0386.28015
- Stein, Elias M .; Shakarchi, Rami (2005), Análisis real. Teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert , Princeton Lectures in Analysis, III, Princeton, Nueva Jersey : Princeton University Press, págs. Xx + 402, ISBN 0-691-11386-6, MR 2129625 , Zbl 1081.28001
- Tišer, Jaroslav (2003), "Teorema de cobertura de Vitali en el espacio de Hilbert", Transactions of the American Mathematical Society , 355 (8): 3277–3289 (electrónico), doi : 10.1090 / S0002-9947-03-03296-3 , MR 1974687 , Zbl 1042.28014
- Vitali, Giuseppe (1908) [17 de diciembre de 1907], "Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali" , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (en italiano), 43 : 75–92, JFM 39.0101.05(Traducción del título) " Sobre grupos de puntos y funciones de variables reales " es el documento que contiene la primera prueba del teorema de cobertura de Vitali .