En geodesia , un arco de meridiano es la curva entre dos puntos en la superficie de la Tierra que tienen la misma longitud . El término puede referirse a un segmento del meridiano oa su longitud. El propósito de medir los arcos de meridianos es determinar una figura de la Tierra .
Se pueden usar una o más mediciones de arcos meridianos para inferir la forma del elipsoide de referencia que mejor se aproxima al geoide en la región de las mediciones. Las mediciones de los arcos de meridianos en varias latitudes a lo largo de muchos meridianos de todo el mundo se pueden combinar para aproximar un elipsoide geocéntrico destinado a adaptarse al mundo entero.
Las primeras determinaciones del tamaño de una Tierra esférica requirieron un solo arco. El trabajo de levantamiento preciso que comenzó en el siglo XIX requirió varias mediciones de arco en la región donde se iba a realizar el levantamiento, lo que llevó a una proliferación de elipsoides de referencia en todo el mundo. Las últimas determinaciones utilizan medidas astrogeodésicas y los métodos de geodesia satelital para determinar elipsoides de referencia, especialmente los elipsoides geocéntricos que ahora se utilizan para sistemas de coordenadas globales como WGS 84 (ver expresiones numéricas ).
Historia de la medición
Tierra esférica
Las primeras estimaciones del tamaño de la Tierra se registran de Grecia en el siglo cuarto antes de Cristo, y de los estudiosos en el califa 's casa de la sabiduría en el siglo noveno. El primer valor realista fue calculado por el científico alejandrino Eratóstenes alrededor del 240 a. C. Estimó que el meridiano tiene una longitud de 252.000 estadios , con un error en el valor real entre -2,4% y + 0,8% (asumiendo un valor para el estadio entre 155 y 160 metros). [1] Eratóstenes describió su técnica en un libro titulado Sobre la medida de la Tierra , que no se ha conservado. Posidonius utilizó un método similar unos 150 años después, y en 827 se calcularon resultados ligeramente mejores mediante el método de medición del arco , [2] atribuido al califa Al-Ma'mun . [ cita requerida ]
Tierra elipsoidal
La literatura antigua usa el término esferoide achatado para describir una esfera "aplastada en los polos". La literatura moderna usa el término elipsoide de revolución en lugar de esferoide , aunque las palabras calificativas "de revolución" generalmente se eliminan. Un elipsoide que no es un elipsoide de revolución se llama elipsoide triaxial. Esferoide y elipsoide se usan indistintamente en este artículo, con oblato implícito si no se indica.
Siglos XVII y XVIII
Aunque se sabía desde la antigüedad clásica que la Tierra era esférica , en el siglo XVII se acumulaban pruebas de que no era una esfera perfecta. En 1672, Jean Richer encontró la primera evidencia de que la gravedad no era constante sobre la Tierra (como lo sería si la Tierra fuera una esfera); llevó un reloj de péndulo a Cayenne , Guayana Francesa y descubrió que perdió 2+1 ⁄ 2 minutos por día en comparación con su tarifa en París . [3] [4] Esto indicó que la aceleración de la gravedad fue menor en Cayenne que en París. Comenzaron a llevarse gravímetros de péndulo en viajes a partes remotas del mundo, y poco a poco se descubrió que la gravedad aumenta suavemente con el aumento de la latitud ,siendo la aceleración gravitacional aproximadamente un 0,5% mayor en los polos geográficos que en el Ecuador .
En 1687, Newton había publicado en los Principia como prueba de que la Tierra era un esferoide achatado de aplanamiento igual a1/230. [5] Esto fue discutido por algunos científicos franceses, pero no por todos. Un arco meridiano de Jean Picard fue ampliado a un arco más largo por Giovanni Domenico Cassini y su hijo Jacques Cassini durante el período 1684-1718. [6] El arco se midió con al menos tres determinaciones de latitud, por lo que pudieron deducir las curvaturas medias de las mitades norte y sur del arco, lo que permitió determinar la forma general. Los resultados indicaron que la Tierra era un esferoide alargado (con un radio ecuatorial menor que el radio polar). Para resolver el problema, la Academia Francesa de Ciencias (1735) propuso expediciones a Perú ( Bouguer , Louis Godin , de La Condamine , Antonio de Ulloa , Jorge Juan ) y Laponia ( Maupertuis , Clairaut , Camus , Le Monnier , Abbe Outhier, Anders Celsius ). La expedición a Perú se describe en el artículo de French Geodesic Mission y la expedición a Laponia se describe en el artículo de Torne Valley . Las mediciones resultantes en latitudes ecuatoriales y polares confirmaron que la Tierra estaba mejor modelada por un esferoide achatado, apoyando a Newton. [6] Sin embargo, en 1743, el teorema de Clairaut había suplantado por completo el enfoque de Newton.
A finales de siglo, Delambre había vuelto a medir y ampliado el arco francés desde Dunkerque hasta el Mediterráneo (el arco meridiano de Delambre y Méchain ). Se dividió en cinco partes mediante cuatro determinaciones intermedias de latitud. Combinando las medidas junto con las del arco de Perú, se determinaron los parámetros de la forma del elipsoide y se calculó la distancia entre el Ecuador y el polo a lo largo del Meridiano de París como5 130 762 toesas según lo especificado por la barra de tope estándar en París. Definiendo esta distancia exactamente10 000 000 m llevó a la construcción de una nueva norma metros bar como0,513 0762 dedos . [6] : 22
Siglo 19
En el siglo XIX, muchos astrónomos y geodesistas se dedicaron a estudios detallados de la curvatura de la Tierra a lo largo de diferentes arcos meridianos. Los análisis dieron como resultado una gran cantidad de elipsoides modelo como Plessis 1817, Airy 1830, Bessel 1830 , Everest 1830 y Clarke 1866 . [7] Se proporciona una lista completa de elipsoides bajo Elipsoide terrestre .
La milla náutica
Históricamente, una milla náutica se definió como la longitud de un minuto de arco a lo largo de un meridiano de una tierra esférica. Un modelo de elipsoide conduce a una variación de la milla náutica con la latitud. Esto se resolvió definiendo la milla náutica en exactamente 1.852 metros. Sin embargo, a todos los efectos prácticos, las distancias se miden a partir de la escala de latitud de las cartas. Como dice la Royal Yachting Association en su manual para navegantes diurnos : "1 (minuto) de latitud = 1 milla de mar", seguido de "Para la mayoría de los propósitos prácticos, la distancia se mide a partir de la escala de latitud, suponiendo que un minuto de latitud equivale a un milla". [8]
Cálculo
En una esfera, la longitud del arco meridiano es simplemente la longitud del arco circular . En un elipsoide de revolución, para arcos meridianos cortos, su longitud se puede aproximar utilizando el radio de curvatura meridional de la Tierra y la formulación del arco circular. Para arcos más largos, la longitud se sigue de la resta de dos distancias de meridianos , es decir, la distancia desde el ecuador hasta un punto en una latitud φ . Este es un problema importante en la teoría de las proyecciones de mapas, particularmente la proyección transversal de Mercator .
Los principales parámetros elisoidales son, a , b , f , pero en el trabajo teórico es útil definir parámetros extra, particularmente la excentricidad , e , y el tercer aplanamiento n . Solo dos de estos parámetros son independientes y existen muchas relaciones entre ellos:
Definición
Se puede demostrar que el radio de curvatura del meridiano es igual a: [9] [10]
La longitud del arco de un elemento infinitesimal del meridiano es dm = M ( φ ) dφ (con φ en radianes). Por lo tanto, la distancia del meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ es
La fórmula de la distancia es más simple cuando se escribe en términos de latitud paramétrica ,
donde tan β = (1 - f ) tan φ y e ′ 2 = e 2/1 - e 2.
Aunque la latitud normalmente se limita al rango [- π/2, π/2] , todas las fórmulas dadas aquí se aplican para medir la distancia alrededor de la elipse completa del meridiano (incluido el anti-meridiano). Por lo tanto, los rangos de φ , β y la latitud de rectificación μ no están restringidos.
Relación con integrales elípticas
La integral anterior está relacionada con un caso especial de una integral elíptica incompleta del tercer tipo . En la notación del manual en línea del NIST [11] ( Sección 19.2 (ii) ),
También se puede escribir en términos de integrales elípticas incompletas del segundo tipo (consulte la sección 19.6 (iv) del manual del NIST ),
El cálculo (con precisión arbitraria) de las integrales y aproximaciones elípticas también se discute en el manual del NIST. Estas funciones también se implementan en programas informáticos de álgebra como Mathematica [12] y Maxima. [13]
Expansiones de series
La integral anterior se puede expresar como una serie truncada infinita expandiendo el integrando en una serie de Taylor, realizando las integrales resultantes término por término y expresando el resultado como una serie trigonométrica. En 1755, Euler [14] derivó una expansión en la tercera excentricidad al cuadrado.
Expansiones en la excentricidad ( e )
Delambre en 1799 [15] derivó una expansión ampliamente utilizada en e 2 ,
dónde
Rapp [16] ofrece una derivación detallada de este resultado.
Expansiones en el tercer aplanamiento ( n )
Se pueden obtener series con una convergencia considerablemente más rápida expandiendo en términos del tercer aplanamiento n en lugar de la excentricidad. Están relacionados por
En 1837, Bessel obtuvo una de esas series, [17] que Helmert puso en una forma más simple , [18] [19]
con
Debido a que n cambia de signo cuando una y b se intercambian, y porque el factor inicial1/2( a + b ) es constante bajo este intercambio, la mitad de los términos en las expansiones de H 2 k desaparecen.
La serie puede ser expresada ya sea con una o b como el factor inicial por escrito, por ejemplo,
y expandiendo el resultado como una serie en n . Aunque esto da como resultado series que convergen más lentamente, tales series se utilizan en la especificación para la proyección transversal de Mercator por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial [20] y el Ordnance Survey de Gran Bretaña . [21]
Serie en términos de latitud paramétrica
En 1825, Bessel [22] derivó una expansión de la distancia del meridiano en términos de la latitud paramétrica β en relación con su trabajo sobre geodésicas ,
con
Debido a que esta serie proporciona una expansión para la integral elíptica del segundo tipo, se puede usar para escribir la longitud del arco en términos de latitud geográfica como
Serie generalizada
Las series anteriores, hasta el octavo orden en excentricidad o el cuarto orden en el tercer aplanamiento, proporcionan una precisión milimétrica. Con la ayuda de sistemas de álgebra simbólica, se pueden extender fácilmente al sexto orden en el tercer aplanamiento, lo que proporciona una precisión de doble precisión completa para aplicaciones terrestres.
Delambre [15] y Bessel [22] escribieron sus series en una forma que les permite generalizarse en un orden arbitrario. Los coeficientes de la serie de Bessel pueden expresarse de forma particularmente sencilla
dónde
y k !! es el factorial doble , extendido a valores negativos a través de la relación recursiva: (−1) !! = 1 y (−3) !! = −1 .
Los coeficientes en la serie de Helmert se pueden expresar de manera similar en general por
Este resultado fue proyectado por Helmert [23] y probado por Kawase. [24]
El factor (1 - 2 k ) (1 + 2 k ) da como resultado una convergencia más pobre de la serie en términos de φ en comparación con la de β .
Expresiones numéricas
La serie trigonométrica dada arriba se puede evaluar convenientemente usando la suma de Clenshaw . Este método evita el cálculo de la mayoría de las funciones trigonométricas y permite sumar las series de forma rápida y precisa. La técnica también se puede utilizar para evaluar la diferencia m ( φ 1 ) - m ( φ 2 ) manteniendo una alta precisión relativa.
Sustituyendo los valores del semieje mayor y la excentricidad del elipsoide WGS84 se obtiene
donde φ ( ° ) = φ/1 °se φ expresado en grados (y de manera similar para β ( ° ) ).
En el elipsoide, la distancia exacta entre los paralelos en φ 1 y φ 2 es m ( φ 1 ) - m ( φ 2 ) . Para WGS84, una expresión aproximada de la distancia Δ m entre los dos paralelos a ± 0.5 ° del círculo en la latitud φ viene dada por
Cuarto de meridiano
La distancia desde el ecuador hasta el polo, el cuarto de meridiano (análogo al cuarto de círculo ), también conocido como cuadrante de la Tierra , es
Formaba parte de la definición histórica del metro y de la milla náutica .
El cuarto de meridiano se puede expresar en términos de la integral elíptica completa del segundo tipo ,
dónde son la primera y segunda excentricidades .
El cuarto de meridiano también viene dado por la siguiente serie generalizada:
(Para la fórmula de c 0 , consulte la sección #Serie generalizada anterior). Este resultado fue obtenido por primera vez por Ivory. [25]
La expresión numérica para el cuarto de meridiano en el elipsoide WGS84 es
La circunferencia de la Tierra polar es simplemente cuatro veces un cuarto de meridiano:
El perímetro de una elipse meridiana también se puede reescribir en forma de perímetro de círculo rectificador, C p = 2π M r . Por lo tanto, el radio de rectificación de la Tierra es:
Puede evaluarse como 6 367 449 .146 m .
El problema del meridiano inverso para el elipsoide
En algunos problemas, tenemos que ser capaces de resolver el problema inverso: dada m , determinar φ . Esto puede resolverse mediante el método de Newton , iterando
hasta la convergencia. Una suposición inicial adecuada viene dada por φ 0 = μ donde
es la latitud rectificadora . Tenga en cuenta que no es necesario diferenciar la serie para m ( φ ) , ya que en su lugar se puede utilizar la fórmula para el radio de curvatura del meridiano M ( φ ) .
Alternativamente, la serie de Helmert para la distancia del meridiano se puede revertir para dar [26] [27]
dónde
De manera similar, la serie de Bessel para m en términos de β puede revertirse para dar [28]
dónde
Legendre [29] mostró que la distancia a lo largo de una geodésica en un esferoide es la misma que la distancia a lo largo del perímetro de una elipse. Por esta razón, la expresión de m en términos de β y su inversa dada anteriormente juegan un papel clave en la solución del problema geodésico con m reemplazado por s , la distancia a lo largo de la geodésica, y β reemplazado por σ , la longitud del arco en la esfera auxiliar. [22] [30] Las series requeridas extendidas al sexto orden están dadas por Karney, [31] Ecs. (17) y (21), con ε jugar el papel de N y τ jugar el papel de μ .
Ver también
- Historia de la geodesia
- Geodesia
- Elipsoide de referencia
- Meridiano de París (arco meridiano entre Europa Occidental y África)
- Misión geodésica francesa
- Arco geodésico de Struve
- Torne Valley # Misión geodésica francesa
- Rectificar la latitud
- Geodésicas en un elipsoide
Referencias
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enlaces externos
- Cálculo en línea de arcos de meridianos en diferentes elipsoides geodésicos de referencia