Las leyes de Mersenne son leyes que describen la frecuencia de oscilación de una cuerda estirada o monocordio , [1] útiles en la afinación musical y la construcción de instrumentos musicales .
Descripción general
La ecuación fue propuesta por primera vez por el matemático y teórico de la música francés Marin Mersenne en su obra Harmonie universelle de 1636 . [2] Las leyes de Mersenne gobiernan la construcción y operación de instrumentos de cuerda , como pianos y arpas , que deben adaptarse a la fuerza de tensión total requerida para mantener las cuerdas en el tono adecuado. Las cuerdas inferiores son más gruesas, por lo que tienen una mayor masa por unidad de longitud. Por lo general, tienen una tensión más baja . Las guitarras son una excepción familiar a esto: las tensiones de las cuerdas son similares, por lo que respecta a la facilidad de ejecución, por lo que el tono de cuerda más bajo se logra en gran medida con una mayor masa por longitud. [nota 1] Las cuerdas de tonos más altos suelen ser más delgadas, tienen mayor tensión y pueden ser más cortas. "Este resultado no difiere sustancialmente del de Galileo , sin embargo, se conoce con razón como la ley de Mersenne", porque Mersenne demostró físicamente su verdad a través de experimentos (mientras que Galileo consideró que su prueba era imposible). [3] "Mersenne investigó y perfeccionó estas relaciones mediante experimentos, pero no las originó él mismo". [4] Aunque sus teorías son correctas, sus medidas no son muy exactas, y sus cálculos fueron mejorados en gran medida por Joseph Sauveur (1653-1716) mediante el uso de ritmos acústicos y metrónomos . [5]
Ecuaciones
La frecuencia natural es:
- a) Inversamente proporcional a la longitud de la cuerda (la ley de Pitágoras [1] ),
- b) Proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza de estiramiento, y
- c) Inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa por unidad de longitud.
- (ecuación 26)
- (ecuación 27)
- (ecuación 28)
Así, por ejemplo, si todas las demás propiedades de la cuerda son iguales, para hacer que la nota sea una octava más alta (2/1), uno necesitaría disminuir su longitud a la mitad (1/2), para aumentar la tensión al cuadrado ( 4), o disminuir su masa por unidad de longitud en el cuadrado inverso (1/4).
Armónicos | Largo, | Tensión, | o misa |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 1/2 = 0,5 | 2² = 4 | 1/2² = 0,25 |
3 | 1/3 = 0. 33 | 3² = 9 | 1 / 3² = 0, 11 |
4 | 1/4 = 0,25 | 4² = 16 | 1 / 4² = 0.0625 |
8 | 1/8 = 0,125 | 8² = 64 | 1/8² = 0,015625 |
Estas leyes se derivan de la ecuación 22 de Mersenne: [6]
La fórmula de la frecuencia fundamental es:
donde f es la frecuencia, L es la longitud, F es la fuerza y μ es la masa por unidad de longitud.
No se desarrollaron leyes similares para tubos e instrumentos de viento al mismo tiempo, ya que las leyes de Mersenne son anteriores a la concepción de que el tono de los instrumentos de viento depende de ondas longitudinales en lugar de "percusión". [3]
Ver también
Notas
- ^ La masa generalmente se agrega aumentando el área de la sección transversal. Esto aumenta la constante de fuerza de la cuerda (k). Una k más alta no afecta el tono per se , pero presionar una cuerda la estira además de acortarla, y el aumento de tono debido al estiramiento es mayor para valores de k más altos. Por lo tanto, la entonación requiere una mayor compensación para las cuerdas más bajas y (notablemente) para el acero frente al nailon. Este efecto todavía se aplica a las cuerdas donde la masa aumenta con los devanados, aunque en menor medida, porque el núcleo que soporta la tensión de la cuerda generalmente necesita ser más grande para soportar masas más grandes de bobinado.
Referencias
- ↑ a b c d Jeans, James Hopwood (1937/1968). Ciencia y Música , págs. 62-4. Dover. ISBN 0-486-61964-8 . Citado en " Leyes de Mersenne ", Wolfram.com
- ↑ Mersenne, Marin (1636). Harmonie universelle [ página necesaria ] . Citado en " Leyes de Mersenne ", Wolfram.com .
- ↑ a b Cohen, HF (2013). Cuantificación de la música: la ciencia de la música en la primera etapa de la revolución científica 1580-1650 , p.101. Saltador. ISBN 9789401576864 .
- ^ Gozza, Paolo; ed. (2013). Number to Sound: The Musical Way to the Scientific Revolution , p.279. Saltador. ISBN 9789401595780 . Gozza se refiere a las declaraciones de Sigalia Dostrovsky "Early Vibration Theory", pp.185-187.
- ^ Beyer, Robert Thomas (1999). Sonidos de nuestro tiempo: doscientos años de acústica . Saltador. p.10. ISBN 978-0-387-98435-3 .
- ^ Steinhaus, Hugo (1999). Instantáneas matemáticas [ página necesaria ] . Dover, ISBN 9780486409146 . Citado en " Leyes de Mersenne ", Wolfram.com .
enlaces externos
- Medios relacionados con las leyes de Mersenne en Wikimedia Commons