En geometría diferencial , una estructura metapléctica es el análogo simpléctico de la estructura de espín en variedades riemannianas orientables . Una estructura metapléctica en una variedad simpléctica permite definir el haz de espinor simpléctico , que es el haz espacial de Hilbert asociado a la estructura metapléctica a través de la representación metapléctica, dando lugar a la noción de un campo de espinor simpléctico en geometría diferencial.
Las estructuras de espín simpléctico tienen amplias aplicaciones en la física matemática , en particular en la teoría cuántica de campos, donde son un ingrediente esencial para establecer la idea de que la geometría de espín simpléctica y los operadores de Dirac simplécticos pueden proporcionar herramientas valiosas en geometría simpléctica y topología simpléctica. Son también de interés puramente matemático en geometría diferencial , la topología algebraica , y teoría K . Forman la base de la geometría de espín simpléctica.
Definicion formal
Una estructura metapléctica [1] en una variedad simpléctica es una elevación equivariante del paquete de tramas simplécticas con respecto a la doble cobertura En otras palabras, un par es una estructura metapléctica en el paquete principal Cuándo
- a) es un director -paquete sobre ,
- B) es un equivariante-pliegue el mapa de cobertura de modo que
- y para todos y
El paquete principal también se llama el paquete de marcos metaplécticos sobre.
Dos estructuras metaplécticas y en la misma variedad simpléctica se llaman equivalentes si existe un-mapa equivariante tal que
- y para todos y
Por supuesto, en este caso y son dos revestimientos dobles equivalentes del marco simpléctico -manojo de la variedad simpléctica dada .
Obstrucción
Dado que cada variedad simpléctica es necesariamente de dimensión uniforme y orientable , se puede probar que la obstrucción topológica a la existencia de estructuras metaplécticas es precisamente la misma que en la geometría de espín de Riemann . [2] En otras palabras, una variedad simplécticaadmite estructuras metaplécticas si y sólo si la segunda clase de Stiefel-Whitney de desaparece. De hecho, el móduloreducción de la primera clase Chern es la segunda clase de Stiefel-Whitney . Por eso, admite estructuras metaplécticas si y sólo si es par, es decir, si y solo si es cero.
Si este es el caso, las clases de isomorfias de estructuras metaplécticas enestán clasificados por el primer grupo de cohomología de con -coeficientes.
Como el colector se supone que está orientado, la primera clase Stiefel-Whitney de desaparece también.
Ejemplos de
Colectores que admiten una estructura metapléctica
- Espacios de fase cualquier colector orientable.
- Espacios proyectivos complejos Desde está simplemente conectado, tal estructura tiene que ser única.
- Grassmannian etc.
Ver también
Notas
- ^ Habermann, Katharina; Habermann, Lutz (2006), Introducción a los operadores simplécticos de Dirac , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33420-0 página 35
- ^ M. Forger, H. Hess (1979). "Estructuras metaplécticas universales y cuantificación geométrica". Comun. Matemáticas. Phys . 64 : 269-278. doi : 10.1007 / bf01221734 .
Referencias
- Habermann, Katharina; Habermann, Lutz (2006), Introducción a los operadores simplécticos de Dirac , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33420-0