K-teoría

En matemáticas , la teoría K es, en términos generales, el estudio de un anillo generado por paquetes de vectores sobre un espacio o esquema topológico . En topología algebraica , es una teoría de cohomología conocida como teoría K topológica . En álgebra y geometría algebraica , se conoce como teoría K algebraica . También es una herramienta fundamental en el campo de las álgebras de operadores . Puede verse como el estudio de ciertos tipos de invariantes de matrices grandes . [1]

K-teoría consiste en la construcción de las familias de K - funtores ese mapa de los espacios topológicos o esquemas de anillos asociados; estos anillos reflejan algunos aspectos de la estructura de los espacios o esquemas originales. Al igual que con los functores a grupos en la topología algebraica, la razón de este mapeo functorial es que es más fácil calcular algunas propiedades topológicas a partir de los anillos mapeados que a partir de los espacios o esquemas originales. Ejemplos de resultados obtenidos del enfoque de la teoría K incluyen el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , la periodicidad de Bott , el teorema del índice de Atiyah-Singer y las operaciones de Adams .

En física de altas energías , la teoría K y, en particular , la teoría K retorcida han aparecido en la teoría de cuerdas de Tipo II donde se ha conjeturado que clasifican las branas D , las intensidades de campo de Ramond-Ramond y también ciertos espinores en variedades complejas generalizadas . En física de la materia condensada , la teoría K se ha utilizado para clasificar aislantes topológicos , superconductores y superficies de Fermi estables . Para obtener más detalles, consulte la teoría K (física) .

La terminación de Grothendieck de un monoide abeliano en un grupo abeliano es un ingrediente necesario para definir la teoría K, ya que todas las definiciones comienzan construyendo un monoide abeliano a partir de una categoría adecuada y convirtiéndolo en un grupo abeliano a través de esta construcción universal. Dado un monoide abeliano , sea ​​la relación definida por

si existe tal que Entonces, el conjunto tiene la estructura de un grupo donde:

Las clases de equivalencia en este grupo deben considerarse como diferencias formales de elementos en el monoide abeliano. Este grupo también está asociado con un homomorfismo monoide dado por el cual tiene una cierta propiedad universal .