En geometría diferencial , dada una estructura metapléctica en un -variedad simpléctica dimensional el paquete de espinor simpléctico es el paquete espacial de Hilbertasociado a la estructura metapléctica a través de la representación metapléctica. La representación metapléctica del grupo metapléctico —la doble cobertura del grupo simpléctico— da lugar a un conjunto de vectores de rango infinito ; esta es la construcción simpléctica del espinor debida a Bertram Kostant . [1]
Una sección del haz de espinor simpléctico se llama campo espinor simpléctico .
Definicion formal
Dejar ser una estructura metapléctica en una variedad simpléctica es decir, una elevación equivariante del paquete de tramas simplécticas con respecto a la doble cobertura
El haz espinor simpléctico se define [2] como el paquete espacial de Hilbert
asociado a la estructura metapléctica a través de la representación metapléctica también llamada Segal-Shale-Weil [3] [4] [5] representación de Aquí, la notación denota el grupo de operadores unitarios que actúan sobre un espacio de Hilbert
La representación Segal-Shale-Weil [6] es una representación unitaria de dimensión infinita del grupo metaplécticoen el espacio de todas las funciones cuadradas integrables integrables de Lebesgue cuadradas complejas valoradas Debido a la dimensión infinita, la representación Segal-Shale-Weil no es tan fácil de manejar.
Notas
- ^ Kostant, B. (1974). "Espinores simplécticos". Simposios Mathematica . Prensa académica. XIV : 139-152.
- ^ Habermann, Katharina; Habermann, Lutz (2006), Introducción a los operadores simplécticos de Dirac , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33420-0 página 37
- ^ Segal, IE (1962), Conferencias en el Seminario de verano de Boulder 1960 , AMS, Providence, RI
- ^ Shale, D. (1962). "Simetrías lineales de campos de bosones libres" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 103 : 149-167. doi : 10.1090 / s0002-9947-1962-0137504-6 .
- ^ Weil, A. (1964). "Sur ciertos groupes d'opérateurs unitaires" . Acta Math . 111 : 143–211. doi : 10.1007 / BF02391012 .
- ^ Kashiwara, M ; Vergne, M. (1978). "Sobre la representación Segal-Shale-Weil y polinomios armónicos". Inventiones Mathematicae . 44 : 1-47. doi : 10.1007 / BF01389900 .
Otras lecturas
- Habermann, Katharina; Habermann, Lutz (2006), Introducción a los operadores simplécticos de Dirac , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33420-0