Espacio métrico
En matemáticas , un espacio métrico es un conjunto no vacío junto con una métrica en el conjunto. La métrica es una función que define un concepto de distancia entre dos miembros del conjunto, que generalmente se denominan puntos . La métrica satisface algunas propiedades simples. Informalmente:
Una métrica en un espacio induce propiedades topológicas como conjuntos abiertos y cerrados , que conducen al estudio de espacios topológicos más abstractos .
El espacio métrico más familiar es el espacio euclidiano tridimensional . De hecho, una "métrica" es la generalización de la métrica euclidiana que surge de las cuatro propiedades conocidas de la distancia euclidiana. La métrica euclidiana define la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento de línea recta que los conecta. Otros espacios métricos ocurren, por ejemplo, en geometría elíptica y geometría hiperbólica , donde la distancia en una esfera medida por ángulo es una métrica, y el modelo hiperboloide de geometría hiperbólica es utilizado por la relatividad especial como un espacio métrico de velocidades.. Algunos de los espacios métricos no geométricos incluyen espacios de cadenas finitas ( secuencias finitas de símbolos de un alfabeto predefinido) equipadas con por ejemplo, un Hamming 's o Levenshtein distancia , un espacio de subconjuntos de cualquier espacio métrico equipados con Hausdorff distancia , un espacio de bienes funciones integrables en un intervalo unitario con una métrica integral o espacios probabilísticos en cualquier espacio métrico elegido equipado con la métrica de Wasserstein . Ver también la sección § Ejemplos de espacios métricos .
En 1906 Maurice Fréchet introdujo los espacios métricos en su obra Sur quelques points du calcul fonctionnel . [1] Sin embargo, el nombre se debe a Felix Hausdorff .
Un espacio métrico es un par ordenado , donde es un conjunto y es una métrica en , es decir, una función
de modo que para cualquiera , se cumple lo siguiente: [2]
