Espacio métrico dirigido a su subespacio
En matemáticas , un espacio métrico dirigido a su subespacio es una construcción categórica que tiene un significado geométrico directo. También es un paso útil hacia la construcción de la envolvente métrica , o tramo estrecho , que son objetos básicos (inyectivos) de la categoría de espacios métricos .
De manera informal, imagina el terreno Y , y su parte X , de modo que donde sea que en Y coloques un francotirador y una manzana en otro lugar de Y , y luego dejes que el francotirador dispare, la bala atravesará la manzana y siempre dará en un punto. de X , o al menos que volará arbitrariamente cerca de puntos de X - entonces se dice que y está dirigido a X .
A priori, puede parecer plausible que para un X dado, los superespacios Y que apuntan a X puedan ser arbitrariamente grandes o al menos enormes. Veremos que este no es el caso. Entre los espacios que apuntan a un subespacio isométrico a X , hay uno universal único ( hasta isométrico ) , Aim ( X ), que en un sentido de incrustaciones isométricas canónicas contiene cualquier otro espacio dirigido a (una imagen isométrica de) X . Y en el caso especial de un espacio métrico compacto arbitrario X, cada subespacio acotado de un espacio métrico arbitrario Y apunta a Xestá totalmente acotado (es decir, su terminación métrica es compacta).
Sea un espacio métrico. Sea un subconjunto de , de modo que (el conjunto con la métrica de restringido a ) sea un subespacio métrico de . Entonces
Definición . El espacio apunta a si y solo si, para todos los puntos de , y para cada real , existe un punto de tal que
Sea el espacio de todos los mapas métricos con valor real (no contractivos ) de . Definir
