En la teoría matemática de los espacios métricos , un mapa métrico es una función entre espacios métricos que no aumenta ninguna distancia (tales funciones son siempre continuas ). Estos mapas son los morfismos en la categoría de espacios métricos , Met (Isbell 1964). También se les llama funciones de Lipschitz con constante de Lipschitz 1, mapas nonexpansive , mapas no expansivo , contracciones débiles o mapas cortos .
Específicamente, supongamos que X y Y son espacios métricos y ƒ es una función de X a Y . Por lo tanto tenemos una función corta cuando, por cualquier puntos x e y en X ,
Aquí d X y d Y denotan las métricas de X e Y respectivamente.
Ejemplos de
Consideremos el espacio métrico con la métrica euclidiana . Entonces la función es un mapa métrico, ya que para , .
Categoría de mapas métricos
El compuesto de mapas de métricas es también función corta, y la identidad de un mapa ID M : M → M en un espacio métrico M es una función corta. Por tanto, los espacios métricos junto con los mapas métricos forman una categoría Met . Met es una subcategoría de la categoría de espacios métricos y funciones de Lipschitz. Un mapa ƒ entre espacios métricos es una isometría si y solo si es un mapa métrico biyectivo cuya inversa también es un mapa métrico. Por tanto, los isomorfismos en Met son precisamente las isometrías.
Mapas estrictamente métricos
Se puede decir que f es estrictamente métrica si la desigualdad es estricta para cada dos puntos diferentes. Por lo tanto, un mapeo de contracciones es estrictamente métrico, pero no necesariamente al revés. Tenga en cuenta que una isometría nunca es estrictamente métrica, excepto en el caso degenerado del espacio vacío o un espacio de un solo punto.
Versión multivalor
Un mapeo de un espacio métrico X a la familia de subconjuntos no vacíos de X se dice que es Lipschitz si existe tal que
para todos , donde H es la distancia de Hausdorff . Cuándo, T se llama no expansivo y cuando, T se llama contracción .
Ver también
Referencias
- Isbell, JR (1964). "Seis teoremas sobre espacios métricos inyectivos" . Comentario. Matemáticas. Helv . 39 : 65–76. doi : 10.1007 / BF02566944 .