En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , la delimitación total es una generalización de la compacidad para circunstancias en las que un conjunto no es necesariamente cerrado . Un conjunto totalmente delimitado puede estar cubierto por un número finito de subconjuntos de cada "tamaño" fijo (donde el significado de "tamaño" depende de la estructura del espacio ambiental ).
El término precompacto (o precompacto ) se utiliza a veces con el mismo significado, pero precompacto también se utiliza para significar relativamente compacto . Estas definiciones coinciden para subconjuntos de un espacio métrico completo , pero no en general.
En espacios métricos
Un espacio métrico está totalmente acotado si y solo si para cada número real, existe una colección finita de bolas abiertas en M de radiocuya unión contiene M . De manera equivalente, el espacio métrico M está totalmente acotado si y solo si para cada, existe una cubierta finita tal que el radio de cada elemento de la cubierta es como máximo. Esto es equivalente a la existencia de una red ε finita . [1] Se dice que un espacio métrico es precompacto de Cauchy si cada secuencia admite una subsecuencia de Cauchy; en espacios métricos, un conjunto es Cauchy-precompacto si y solo si está totalmente acotado. [2]
Cada espacio totalmente acotado está acotado (como está acotada la unión de un número finito de conjuntos acotados). Lo contrario es cierto para los subconjuntos del espacio euclidiano (con la topología del subespacio ), pero no en general. Por ejemplo, un conjunto infinito equipado con la métrica discreta está acotado pero no totalmente acotado. [3]
Espacios uniformes (topológicos)
Una métrica aparece en la definición de delimitación total solo para garantizar que cada elemento de la cobertura finita sea de tamaño comparable y pueda debilitarse hasta obtener una estructura uniforme . Un subconjunto S de un espacio uniforme X está totalmente acotado si y sólo si, para cualquier entorno E , existe una cubierta finito de S por subconjuntos de X cada uno de cuyos cuadrados cartesiano es un subconjunto de E . (En otras palabras, E reemplaza el "tamaño" ε , y un subconjunto es de tamaño E si su cuadrado cartesiano es un subconjunto de E ). [2]
La definición puede extenderse aún más, a cualquier categoría de espacios con una noción de compacidad y terminación Cauchy : un espacio está totalmente delimitado si y solo si su terminación (Cauchy) es compacta.
Ejemplos y propiedades elementales
- Todo conjunto compacto está totalmente acotado, siempre que se defina el concepto.
- Todo conjunto totalmente acotado está acotado.
- Un subconjunto de la línea real , o más generalmente del espacio euclidiano de dimensión finita , está totalmente acotado si y sólo si está acotado . [4] [3]
- La bola unitaria en un espacio de Hilbert , o más generalmente en un espacio de Banach , está totalmente acotada (en la topología normal) si y solo si el espacio tiene una dimensión finita .
- Las funciones acotadas equicontinuas en un conjunto compacto son precompactas en la topología uniforme ; este es el teorema de Arzelà-Ascoli .
- Un espacio métrico es separable si y solo si es homeomórfico a un espacio métrico totalmente acotado. [3]
- El cierre de un subconjunto totalmente acotado está nuevamente totalmente acotado. [5]
Comparación con sets compactos
En los espacios métricos, un conjunto es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado; [4] sin el axioma de elección, sólo se mantiene la dirección hacia adelante. Los conjuntos precompactos comparten una serie de propiedades con los conjuntos compactos.
- Al igual que los conjuntos compactos, una unión finita de conjuntos totalmente delimitados está totalmente delimitada.
- A diferencia de los conjuntos compactos, cada subconjunto de un conjunto totalmente delimitado vuelve a estar totalmente delimitado.
- La imagen continua de un conjunto compacto es compacta. La imagen uniformemente continua de un conjunto precompacto es precompacta.
En grupos topológicos
Aunque la noción de delimitación total está estrechamente ligada a los espacios métricos, la estructura algebraica mayor de los grupos topológicos permite intercambiar algunas propiedades de separación . Por ejemplo, en espacios métricos, un conjunto es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado. Según la definición siguiente, lo mismo se aplica a cualquier espacio vectorial topológico (¡no necesariamente Hausdorff ni completo!). [5] [6] [7]
La forma lógica general de la definición es: un subconjunto de un espacio está totalmente acotado si y solo si, dado cualquier tamaño existe una cobertura finita de tal que cada elemento de tiene tamaño como máximo entonces está totalmente acotado si y solo si está totalmente acotado cuando se considera como un subconjunto de sí mismo.
Adoptamos la convención que, para cualquier barrio de la identidad, un subconjunto se llama ( izquierda )-pequeña si y solo si[5] Un subconjuntode un grupo topológico está ( izquierda ) totalmente acotado si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición : para cualquier barrio de la identidad existen finitos muchos tal que
- Para cualquier barrio de existe un subconjunto finito tal que (donde el lado derecho es la suma de Minkowski ).
- Para cualquier barrio de existen un número finito de subconjuntos de tal que y cada es -pequeña. [5]
- Para cualquier subbase de filtro dada del filtro de vecindad del elemento de identidad (que consta de todos los barrios de en ) y para cada existe una portada de por un número finito -pequeños subconjuntos de [5]
- Cauchy está limitado : para cada barriode la identidad y cada subconjunto infinito numerable de existen distintas tal que [5] (Sies finito, entonces esta condición se satisface de forma vacía ).
- Cualquiera de los siguientes tres conjuntos satisface (cualquiera de las definiciones anteriores) de estar (izquierda) totalmente acotado:
- El cierre de en [5]
- Este conjunto en la lista significa que se cumple la siguiente caracterización: está (izquierda) totalmente acotado si y solo si está (izquierda) totalmente acotado (de acuerdo con cualquiera de las condiciones definitorias mencionadas anteriormente). La misma caracterización es válida para los otros conjuntos enumerados a continuación.
- La imagen de bajo el cociente canónico que se define por (dónde es el elemento de identidad).
- La suma [8]
- El cierre de en [5]
El término precompacto suele aparecer en el contexto de los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff. [9] [10] En ese caso, las siguientes condiciones también son equivalentes a estar (izquierda) totalmente acotado:
- En la terminación de el cierre de es compacto. [9] [11]
- Cada ultrafiltro encendido es un filtro de Cauchy .
La definición de derecho totalmente acotado es análoga: simplemente intercambia el orden de los productos.
La condición 4 implica cualquier subconjunto de está totalmente acotado (de hecho, compacto; ver § Comparación con conjuntos compactos arriba). Si no es Hausdorff entonces, por ejemplo, es un conjunto completo compacto que no está cerrado. [5]
Espacios vectoriales topológicos
Cualquier espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano en adición, por lo que se aplican las condiciones anteriores. Históricamente, la definición 1 (b) fue la primera reformulación de la delimitación total para espacios vectoriales topológicos ; data de un artículo de 1935 de John von Neumann. [12]
Esta definición tiene la propiedad atractiva de que, en un espacio localmente convexo dotado de la topología débil , los conjuntos precompactos son exactamente los conjuntos acotados .
Para espacios de Banach separables, hay una buena caracterización de los conjuntos precompactos (en la topología normal) en términos de secuencias de funcionales débilmente convergentes: si es un espacio de Banach separable, entonces es precompacto si y sólo si cada secuencia débilmente convergente de funcionales converge uniformemente en[13]
Interacción con la convexidad
- El casco equilibrado de un subconjunto totalmente acotado de un espacio vectorial topológico vuelve a estar totalmente acotado. [5] [14]
- La suma de Minkowski de dos conjuntos compactos (totalmente acotados) es compacta (resp. Totalmente acotada).
- En un espacio localmente convexo (Hausdorff), el casco convexo y el casco disked de un conjunto totalmente acotado está totalmente acotado si y solo si Esta completo. [15]
Ver también
- Espacio compacto
- Espacio localmente compacto
- Medida de no compacidad
- Espacio ortocompacto
- Espacio paracompacto
- Subespacio relativamente compacto
Referencias
- ^ Sutherland 1975 , p. 139.
- ↑ a b Willard, Stephen (1970). Loomis, Lynn H. (ed.). Topología general . Reading, Mass .: Addison-Wesley. pag. 262. Véase la definición 39.7 y el lema 39.8.
- ↑ a b c Willard , 2004 , p. 182.
- ^ a b Kolmogorov, AN; Fomin, SV (1957) [1954]. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional . 1 . Traducido por Boron, Leo F. Rochester, NY: Graylock Press. págs. 51–3.
- ↑ a b c d e f g h i Narici y Beckenstein 2011 , págs. 47-66.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 55-56.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 55-66.
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 12-35.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 25.
- ^ Trèves , 2006 , p. 53.
- ^ Jarchow 1981 , págs. 56-73.
- ^ von Neumann, John (1935). "Sobre espacios topológicos completos" . Transacciones de la American Mathematical Society . 37 (1): 1–20. doi : 10.2307 / 1989693 . ISSN 0002-9947 .
- ^ Phillips, RS (1940). "Sobre Transformaciones Lineales". Anales de Matemáticas : 525.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 156-175.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 67-113.
Bibliografía
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Sutherland, WA (1975). Introducción a los espacios métricos y topológicos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853161-3. Zbl 0304.54002 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.