En geometría métrica , la envolvente métrica o el espacio estrecho de un espacio métrico M es un espacio métrico inyectivo en el que M se puede incrustar. En cierto sentido, consta de todos los puntos "entre" los puntos de M , análogo al casco convexo de un punto situado en un espacio euclidiano . El lapso de apretado también se conoce a veces como la envolvente inyectiva o casco hyperconvex de M . También se le ha llamado casco inyectivo , pero no debe confundirse con el casco inyectivo de unmódulo en álgebra , un concepto con una descripción similar en relación con la categoría de módulos R en lugar de espacios métricos.
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El espacio reducido fue descrito por primera vez por Isbell (1964) , y fue estudiado y aplicado por Holsztyński en la década de 1960. Más tarde fue redescubierta de forma independiente por Dress (1984) y Chrobak & Larmore (1994) ; ver Chepoi (1997) para esta historia. El lapso apretada es una de las construcciones centrales de T-teoría .
Definición
El estrecho espacio de un espacio métrico finito se puede definir de la siguiente manera. Sea ( X , d ) un espacio métrico, con X finito, y sea T ( X ) el conjunto de funciones f de X a R tales que
- Para cualquier x , y en X , f ( x ) + f ( y ) ≥ d ( x , y ), y
- Para cada x en X , existe y en X tal que f ( x ) + f ( y ) = d ( x , y ).
En particular (tomando x = y en la propiedad 1 anterior) f ( x ) ≥ 0 para todo x . Una forma de interpretar el primer requisito anterior es que f define un conjunto de distancias posibles desde algún punto nuevo a los puntos en X que deben satisfacer la desigualdad del triángulo junto con las distancias en ( X , d ). El segundo requisito establece que ninguna de estas distancias se puede reducir sin violar la desigualdad del triángulo.
Dadas dos funciones f y g en T ( X ), defina δ ( f , g ) = max | f ( x ) - g ( x ) |; si vemos T ( X ) como un subconjunto de un espacio vectorial R | X | entonces esta es la distancia L ∞ habitual entre vectores. El tramo estrecho de X es el espacio métrico ( T ( X ), δ). Hay una incrustación isométrica de X en su espacio estrecho, dada al mapear cualquier x en la función f x ( y ) = d ( x , y ). Es sencillo expandir la definición de δ usando la desigualdad del triángulo para X para mostrar que la distancia entre dos puntos cualesquiera de X es igual a la distancia entre los puntos correspondientes en el tramo estrecho.
La definición anterior incrusta el espacio reducido de un conjunto de n puntos en un espacio de dimensión n . Sin embargo, Develin (2006) mostró que, con un supuesto de posición general adecuado en la métrica, esta definición conduce a un espacio con dimensión entre n / 3 y n / 2. Develin y Sturmfels (2004) intentaron proporcionar una definición alternativa del estrecho espacio de un espacio métrico finito, como el casco convexo tropical de los vectores de distancias desde cada punto a cada otro punto en el espacio. Sin embargo, más tarde el mismo año reconocieron en una Erratum Develin & Sturmfels (2004a) que, si bien el casco convexo tropical siempre contiene el espacio estrecho, puede no coincidir con él.
Para espacios métricos generales (finitos e infinitos), el tramo estrecho se puede definir usando una versión modificada de la propiedad 2 en la definición anterior que indica que inf f ( x ) + f ( y ) - d ( x , y ) = 0. [ 1] Una definición alternativa basada en la noción de un espacio métrico dirigido a su subespacio fue descrita por Holsztyński (1968) , quien demostró que la envolvente inyectiva de un espacio de Banach, en la categoría de espacios de Banach, coincide (después de olvidar la estructura lineal ) con el espacio reducido. Este teorema permite reducir ciertos problemas desde espacios de Banach arbitrarios a espacios de Banach de la forma C (X), donde X es un espacio compacto.
Ejemplo
La figura muestra un conjunto X de 16 puntos en el plano; para formar un espacio métrico finito a partir de estos puntos, usamos la distancia de Manhattan ( métrica L 1 ). [2] La región azul se muestra en la figura es el casco convexo ortogonal , el conjunto de puntos z de tal manera que cada uno de los cuatro cuadrantes cerrados con z como vértice contiene un punto de X . Cualquiera de estos puntos z corresponde a un punto del tramo estrecho: la función f ( x ) correspondiente a un punto z es f ( x ) = d ( z , x ). Una función de esta forma satisface la propiedad 1 del tramo estrecho para cualquier z en el plano métrico de Manhattan, por la desigualdad del triángulo para la métrica de Manhattan. Para mostrar la propiedad 2 del tramo estrecho, considere algún punto x en X ; debemos encontrar y en X tal que f ( x ) + f ( y ) = d ( x , y ). Pero si x está en uno de los cuatro cuadrantes que tienen z como vértice, y puede tomarse como cualquier punto del cuadrante opuesto, por lo que la propiedad 2 también se satisface. A la inversa, se puede demostrar que cada punto del tramo estrecho corresponde de esta manera a un punto en el casco convexo ortogonal de estos puntos. Sin embargo, para conjuntos de puntos con la métrica de Manhattan en dimensiones más altas, y para conjuntos de puntos planos con cascos ortogonales desconectados, el tramo estrecho difiere del casco convexo ortogonal.
Aplicaciones
- Dress, Huber y Moulton (2001) describen aplicaciones del estrecho lapso en la reconstrucción de árboles evolutivos a partir de datos biológicos.
- El lapso apretado sirve un papel en varios algoritmos en línea para el problema de K-servidor . [3]
- Sturmfels y Yu (2004) utilizan el tramo estrecho para clasificar espacios métricos en hasta seis puntos.
- Chepoi (1997) utiliza el intervalo estrecho para probar resultados sobre el empaquetado de métricas de corte en espacios métricos finitos más generales.
Notas
- ^ Véase, por ejemplo , Dress, Huber & Moulton (2001) .
- ^ En dos dimensiones, la distancia de Manhattan es isométrica después de la rotación y escalada a la distancia L ∞ , por lo que con esta métrica el plano es en sí mismo inyectivo, pero esta equivalencia entre L 1 y L ∞ no se mantiene en dimensiones más altas.
- ^ Chrobak y Larmore (1994) .
Referencias
- Chepoi, Victor (1997), "Un enfoque de A T X para algunos resultados en cortes y métricas", Avances en Matemáticas Aplicadas , 19 (4): 453–470, doi : 10.1006 / aama.1997.0549.
- Chrobak, Marek; Larmore, Lawrence L. (1994), "La generosidad ayuda o un algoritmo competitivo 11 para tres servidores", Journal of Algorithms , 16 (2): 234-263, doi : 10.1006 / jagm.1994.1011.
- Develin, Mike (2006), "Dimensions of tight spanns", Annals of Combinatorics , 10 (1): 53–61, arXiv : math.CO/0407317 , doi : 10.1007 / s00026-006-0273-y.
- Develin, Mike; Sturmfels, Bernd (2004), "Convexidad tropical" (PDF) , Documenta Mathematica , 9 : 1–27.
- Develin, Mike; Sturmfels, Bernd (2004a), "Errata de" Convexidad tropical " " (PDF) , Documenta Mathematica , 9 : 205-206.
- Dress, Andreas WM (1984), "Árboles, extensiones estrechas de espacios métricos y la dimensión cohomológica de ciertos grupos", Advances in Mathematics , 53 (3): 321-402, doi : 10.1016 / 0001-8708 (84) 90029 -X.
- Vestido, Andreas WM; Huber, KT; Moulton, V. (2001), "Espacios métricos en matemáticas puras y aplicadas" (PDF) , Documenta Mathematica (Proceedings Quadratic Forms LSU): 121-139.
- Holsztyński, Włodzimierz (1968), "Linealización de incrustaciones isométricas de espacios de Banach. Envolventes métricas", Bull. Acad. Polon. Sci. , 16 : 189-193.
- Isbell, JR (1964), "Seis teoremas sobre espacios métricos inyectivos", Comentario. Matemáticas. Helv. , 39 : 65–76, doi : 10.1007 / BF02566944.
- Sturmfels, Bernd ; Yu, Josephine (2004), "Clasificación de métricas de seis puntos" , The Electronic Journal of Combinatorics , 11 : R44, arXiv : math.MG/0403147 , Bibcode : 2004math ...... 3147S.
Ver también
- Incrustación de Kuratowski , una incrustación de cualquier espacio métrico en un espacio de Banach definido de manera similar al tramo estrecho
enlaces externos
- Joswig, Michael, tramos estrechos.