En álgebra conmutativa , un el anillo es un dominio integral cuyo cierre integral en su campo de cociente es un finitamente generado módulo. Se llama anillo japonés (o unanillo) si para cada extensión finita de su campo cociente , el cierre integral de en es un finitamente generado -módulo (o equivalentemente un finito -álgebra). Un anillo se llama universalmente japonés si cada dominio integral finitamente generado sobre él es japonés, y se llama anillo Nagata, llamado así por Masayoshi Nagata , o un anillo pseudo-geométrico si es noetheriano y universalmente japonés (o, que resulta ser lo mismo, si es noetheriano y todos sus cocientes por un ideal primo sonanillos.) Un anillo se llama geométrico si es el anillo local de una variedad algebraica o una terminación de dicho anillo local ( Danilov 2001 ) , pero este concepto no se usa mucho.
Ejemplos de
Los campos y anillos de polinomios o series de potencias en un número finito de indeterminados sobre campos son ejemplos de anillos japoneses. Otro ejemplo importante es un dominio noetheriano integralmente cerrado (por ejemplo, un dominio de Dedekind ) que tiene un campo perfecto de fracciones . Por otro lado, un dominio ideal principal o incluso un anillo de valoración discreto no es necesariamente japonés.
Cualquier anillo cuasi-excelente es un anillo de Nagata, por lo que, en particular, casi todos los anillos noetherianos que ocurren en geometría algebraica son anillos de Nagata. Akizuki (1935) dio el primer ejemplo de un dominio noetheriano que no es un anillo de Nagata .
A continuación se muestra un ejemplo de un anillo de valoración discreto que no es un anillo japonés. Elige una prima y una extensión de campo de grado infinito de una característica campo , tal que . Deja que suene la valoración discreta ser el anillo de la serie de poder formal sobre cuyos coeficientes generan una extensión finita de . Si ¿Hay alguna serie de poder formal que no esté en luego el anillo no es un anillo (su cierre integral no es un módulo finitamente generado) por lo que no es un anillo japonés.
Si es el subanillo del polinomio en infinitos generadores generados por los cuadrados y cubos de todos los generadores, y se obtiene de adjuntando inversos a todos los elementos que no están en ninguno de los ideales generados por algunos , luego es un dominio noetheriano unidimensional que no es un anillo, en otras palabras, su cierre integral en su campo cociente no es un -módulo. También tiene una singularidad de cúspide en cada punto cerrado, por lo que el conjunto de puntos singulares no es cerrado.
Referencias
- Akizuki, Y. (1935), "Einige Bemerkungen über primäre Integritätsbereiche mit teilerkettensatz" , Actas de la Sociedad Físico-Matemática de Japón , tercera serie, 17 : 327–336
- Bosch, Güntzer, Remmert, Non-Archimedean Analysis , Springer 1984, ISBN 0-387-12546-9
- VI Danilov (2001) [1994], "anillo geométrico" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique Publ. Matemáticas. IHES, 20, sección 23 (1964)
- H. Matsumura, álgebra conmutativaISBN 0-8053-7026-9 , capítulo 12.
- Anillos locales de Nagata, Masayoshi . Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers, una división de John Wiley & Sons, Nueva York-Londres 1962, reimpreso por RE Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0-88275-228-6