e (constante matemática)

El número e , también conocido como número de Euler , es una constante matemática aproximadamente igual a 2,71828 que se puede caracterizar de muchas maneras. Es la base de los logaritmos naturales . Es el límite de (1 + 1/ n ) n cuando n tiende a infinito, una expresión que surge en el estudio del interés compuesto . También se puede calcular como la suma de la serie infinita

Es también el único número positivo a tal que la gráfica de la función y = a x tiene una pendiente de 1 en x = 0 .

La función exponencial (natural) f ( x ) = e x es la única función f que es igual a su propia derivada y satisface la ecuación f (0) = 1 ; por lo tanto, también se puede definir e como f (1) . El logaritmo natural, o logaritmo en base e , es la función inversa de la función exponencial natural. El logaritmo neperiano de un número k > 1 se puede definir directamente como el área bajo la curva y = 1/ x entre x= 1 y x = k , en cuyo caso e es el valor de k para el cual esta área es igual a uno (ver imagen). Hay varias otras caracterizaciones .

e a veces se denomina número de Euler (que no debe confundirse con la constante de Euler ), en honor al matemático suizo Leonhard Euler , o constante de Napier , en honor a John Napier . [1] La constante fue descubierta por el matemático suizo Jacob Bernoulli mientras estudiaba el interés compuesto. [2] [3]

El número e es de gran importancia en matemáticas, [4] [ página necesaria ] junto con 0, 1, π e i . Los cinco aparecen en una formulación de la identidad de Euler y juegan papeles importantes y recurrentes en las matemáticas. [5] [6] Al igual que la constante π , e es irracional (es decir, no puede representarse como una razón de números enteros) y trascendental (es decir, no es raíz de ningún polinomio distinto de cero con coeficientes racionales). [1] Con 50 decimales el valor de e es:

Las primeras referencias a la constante se publicaron en 1618 en la tabla de un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier . Sin embargo, este no contenía la constante en sí, sino simplemente una lista de logaritmos hasta la base . Se supone que la tabla fue escrita por William Oughtred . [3]

Gráfico de la ecuación y = 1/ x . Aquí, e es el único número mayor que 1 que hace que el área sombreada sea igual a 1.
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Gráficas de probabilidad P de no observar eventos independientes cada uno de probabilidad 1/ n después de n ensayos de Bernoulli, y 1 − P   vs n  ; se puede observar que a medida que n aumenta, la probabilidad de que un evento de 1/ n probabilidad nunca aparezca después de n intentos converge rápidamente a 1/ e .
Las gráficas de las funciones x ↦ a x se muestran para a = 2 (punteado), a = e (azul) y a = 4 (punteado). Todas pasan por el punto (0,1) , pero la recta roja (que tiene pendiente 1 ) es tangente a sólo e x allí.
El valor de la función de logaritmo natural para el argumento e , es decir, ln e , es igual a 1.
Las cinco regiones coloreadas tienen el mismo área y definen unidades de ángulo hiperbólico a lo largo de la hipérbola .
Las funciones exponenciales y = 2 x y y = 4 x intersecan la gráfica de y = x + 1 , respectivamente, en x = 1 y x = -1/2 . El número e es la base única tal que y = e x interseca solo en x = 0 . Podemos inferir que e se encuentra entre 2 y 4.
El máximo global de x √ x ocurre en x = e .