En un análisis complejo , dados los datos iniciales que consisten en puntos en el disco de la unidad compleja y datos objetivo que constan de puntos en , el problema de interpolación de Nevanlinna-Pick es encontrar una función holomórfica que interpola los datos, que es para todos,
- ,
sujeto a la restricción para todos .
Georg Pick y Rolf Nevanlinna resolvieron el problema de forma independiente en 1916 y 1919 respectivamente, mostrando que existe una función de interpolación si y solo si una matriz definida en términos de los datos inicial y objetivo es semidefinida positiva .
Fondo
El teorema de Nevanlinna-Pick representa un -Generalización puntual del lema de Schwarz . La forma invariante del lema de Schwarz establece que para una función holomórfica, para todos ,
Configuración , esta desigualdad es equivalente a la afirmación de que la matriz dada por
es decir, la matriz Pick es semidefinida positiva.
Combinado con el lema de Schwarz, esto lleva a la observación de que para , existe una función holomorfa tal que y si y solo si la matriz Pick
El teorema de Nevanlinna-Pick
El teorema de Nevanlinna-Pick establece lo siguiente. Dado, existe una función holomorfa tal que si y solo si la matriz Pick
es positivo semi-definido. Además, la funciónes único si y solo si la matriz Pick tiene un determinante cero . En este caso,es un producto de Blaschke , con grado igual al rango de la matriz Pick (excepto en el caso trivial donde todos losson iguales).
Generalización
La generalización del teorema de Nevanlinna-Pick se convirtió en un área de investigación activa en la teoría de operadores a raíz del trabajo de Donald Sarason sobre el teorema de interpolación de Sarason . [1] Sarason dio una nueva prueba del teorema de Nevanlinna-Pick utilizando métodos espaciales de Hilbert en términos de contracciones del operador . Otros enfoques se desarrollaron en el trabajo de L. de Branges y B. Sz.-Nagy y C. Foias .
Se puede demostrar que el espacio de Hardy H 2 es un espacio de Hilbert del núcleo de reproducción , y que su núcleo de reproducción (conocido como el núcleo de Szegő ) es
Debido a esto, la matriz Pick se puede reescribir como
Esta descripción de la solución ha motivado varios intentos de generalizar el resultado de Nevanlinna y Pick.
El problema de Nevanlinna-Pick se puede generalizar al de encontrar una función holomórfica que interpola un conjunto de datos dado, donde R es ahora una región arbitraria del plano complejo.
MB Abrahamse demostró que si el límite de R consiste en un número finito de curvas analíticas (digamos n + 1), entonces existe una función de interpolación f si y solo si
es una matriz semidefinida positiva, para todos en el n- torus . Aquí els son los granos reproduciéndose correspondientes a un conjunto particular de reproducir kernel Hilbert espacios, que están relacionados con el conjunto R . También se puede demostrar que f es única si y solo si una de las matrices Pick tiene un determinante cero.
Notas
- La prueba original de Pick se refería a funciones con parte real positiva. Bajo una transformada de Cayley fraccional lineal , su resultado se mantiene en los mapas del disco al disco.
- La interpolación Pick-Nevanlinna fue introducida en un control robusto por Allen Tannenbaum .
Referencias
- ^ Sarason, Donald (1967). "Interpolación generalizada en" . Trans. Amer. Math. Soc . 127 : 179-203. Doi : 10.1090 / s0002-9947-1967-0208383-8 .
- Agler, Jim; John E. McCarthy (2002). Elija Interpolation y Hilbert Function Spaces . Estudios de Posgrado en Matemáticas . AMS . ISBN 0-8218-2898-3.
- Abrahamse, MB (1979). "El teorema de interpolación de Pick para dominios conectados finitamente" . Michigan Math. J . 26 (2): 195-203. doi : 10.1307 / mmj / 1029002212 .
- Tannenbaum, Allen (1980). "Estabilización por retroalimentación de plantas dinámicas lineales con incertidumbre en el factor de ganancia". En t. J. Control . 32 (1): 1–16. doi : 10.1080 / 00207178008922838 .