Interpolación de Nevanlinna-Pick

En un análisis complejo , dados los datos iniciales que consisten en${\displaystyle n}$ puntos ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ en el disco de la unidad compleja ${\displaystyle \mathbb {D} }$y datos objetivo que constan de${\displaystyle n}$ puntos ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ en ${\displaystyle \mathbb {D} }$, el problema de interpolación de Nevanlinna-Pick es encontrar una función holomórfica ${\displaystyle \varphi }$que interpola los datos, que es para todos${\displaystyle i}$,

${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=z_{i}}$,

sujeto a la restricción ${\displaystyle \left\vert \varphi (\lambda )\right\vert \leq 1}$ para todos ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {D} }$.

Georg Pick y Rolf Nevanlinna resolvieron el problema de forma independiente en 1916 y 1919 respectivamente, mostrando que existe una función de interpolación si y solo si una matriz definida en términos de los datos inicial y objetivo es semidefinida positiva .

Antecedentes

El teorema de Nevanlinna-Pick representa un ${\displaystyle n}$generalización puntual del lema de Schwarz . La forma invariante del lema de Schwarz establece que para una función holomórfica${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$, para todos ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {D} }$,

${\displaystyle \left|{\frac {f(\lambda _{1})-f(\lambda _{2})}{1-{\overline {f(\lambda _{2})}}f(\lambda _{1})}}\right|\leq \left|{\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}\right|.}$

Configuración ${\displaystyle f(\lambda _{i})=z_{i}}$, esta desigualdad es equivalente a la afirmación de que la matriz dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1-|z_{1}|^{2}}{1-|\lambda _{1}|^{2}}}&{\frac {1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}{1-{\overline {\lambda _{1}}}\lambda _{2}}}\\[5pt]{\frac {1-{\overline {z_{2}}}z_{1}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}&{\frac {1-|z_{2}|^{2}}{1-|\lambda _{2}|^{2}}}\end{bmatrix}}\geq 0,}$

es decir, la matriz Pick es semidefinida positiva.

Combinado con el lema de Schwarz, esto lleva a la observación de que para ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},z_{1},z_{2}\in \mathbb {D} }$, existe una función holomorfa ${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ tal que ${\displaystyle \varphi (\lambda _{1})=z_{1}}$ y ${\displaystyle \varphi (\lambda _{2})=z_{2}}$ si y solo si la matriz Pick

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1,2}\geq 0.}$

El teorema de Nevanlinna-Pick

El teorema de Nevanlinna-Pick establece lo siguiente. Dado${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {D} }$, existe una función holomorfa ${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to {\overline {\mathbb {D} }}}$ tal que ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=z_{i}}$ si y solo si la matriz Pick

${\displaystyle \left({\frac {1-{\overline {z_{j}}}z_{i}}{1-{\overline {\lambda _{j}}}\lambda _{i}}}\right)_{i,j=1}^{n}}$

es positivo semi-definido. Además, la función${\displaystyle \varphi }$es único si y solo si la matriz Pick tiene un determinante cero . En este caso,${\displaystyle \varphi }$es un producto de Blaschke , con grado igual al rango de la matriz Pick (excepto en el caso trivial donde todos los${\displaystyle z_{i}}$son iguales).

Generalización

La generalización del teorema de Nevanlinna-Pick se convirtió en un área de investigación activa en la teoría de operadores a raíz del trabajo de Donald Sarason sobre el teorema de interpolación de Sarason . ^[1] Sarason dio una nueva prueba del teorema de Nevanlinna-Pick utilizando métodos espaciales de Hilbert en términos de contracciones del operador . Otros enfoques se desarrollaron en el trabajo de L. de Branges y B. Sz.-Nagy y C. Foias .

Se puede demostrar que el espacio de Hardy H  ² es un espacio de Hilbert del núcleo de reproducción , y que su núcleo de reproducción (conocido como el núcleo de Szegő ) es

${\displaystyle K(a,b)=\left(1-b{\bar {a}}\right)^{-1}.\,}$

Debido a esto, la matriz Pick se puede reescribir como

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}.\,}$

Esta descripción de la solución ha motivado varios intentos de generalizar el resultado de Nevanlinna y Pick.

El problema de Nevanlinna-Pick se puede generalizar al de encontrar una función holomórfica ${\displaystyle f:R\to \mathbb {D} }$que interpola un conjunto de datos dado, donde R es ahora una región arbitraria del plano complejo.

MB Abrahamse demostró que si el límite de R consiste en un número finito de curvas analíticas (digamos n  + 1), entonces existe una función de interpolación f si y solo si

${\displaystyle \left((1-z_{i}{\overline {z_{j}}})K_{\tau }(\lambda _{j},\lambda _{i})\right)_{i,j=1}^{N}\,}$

es una matriz semidefinida positiva, para todos ${\displaystyle \tau }$en el n- torus . Aquí el${\displaystyle K_{\tau }}$s son los granos reproduciéndose correspondientes a un conjunto particular de reproducir kernel Hilbert espacios, que están relacionados con el conjunto R . También se puede demostrar que f es única si y solo si una de las matrices Pick tiene un determinante cero.

Notas

• La prueba original de Pick se refería a funciones con parte real positiva. Bajo una transformada de Cayley fraccional lineal , su resultado se mantiene en los mapas del disco al disco.

• La interpolación Pick-Nevanlinna fue introducida en un control robusto por Allen Tannenbaum .

Referencias

1. Sarason, Donald (1967). "Interpolación generalizada en${\displaystyle H^{\infty }}$" . Trans. Amer. Math. Soc . 127 : 179-203. Doi : 10.1090 / s0002-9947-1967-0208383-8 .

• Agler, Jim; John E. McCarthy (2002). Elija Interpolation y Hilbert Function Spaces . Estudios de Posgrado en Matemáticas . AMS . ISBN 0-8218-2898-3.
• Abrahamse, MB (1979). "El teorema de interpolación de Pick para dominios conectados finitamente" . Michigan Math. J . 26 (2): 195-203. doi : 10.1307 / mmj / 1029002212 .
• Tannenbaum, Allen (1980). "Estabilización por retroalimentación de plantas dinámicas lineales con incertidumbre en el factor de ganancia". En t. J. Control . 32 (1): 1–16. doi : 10.1080 / 00207178008922838 .