En la teoría de categorías , una disciplina matemática abstracta, una descomposición nodal [1] de un morfismo es una representación de como producto , dónde es un epimorfismo fuerte , [2] [3] [4] un bimorfismo , yun fuerte monomorfismo . [5] [3] [4]
Singularidad y notaciones
Si existe, la descomposición nodal es única hasta un isomorfismo en el siguiente sentido: para dos descomposiciones nodales cualesquiera y existen isomorfismos y tal que
Esta propiedad justifica algunas notaciones especiales para los elementos de la descomposición nodal:
- aquí y se llaman coimagen nodal de, y la imagen nodal de, y la parte nodal reducida de.
En estas notaciones, la descomposición nodal toma la forma
Conexión con la descomposición básica en categorías pre-abelianas
En una categoría pre-abeliana cada morfismo tiene una descomposición estándar
- ,
llamada la descomposición básica (aquí, , y son respectivamente la imagen, la coimagen y la parte reducida del morfismo ).
Si un morfismo en una categoría pre-abeliana tiene una descomposición nodal, entonces existen morfismos y que (no siendo necesariamente isomorfismos) conectan la descomposición nodal con la descomposición básica por las siguientes identidades:
Categorías con descomposición nodal
Una categoría se llama categoría con descomposición nodal [1] si cada morfismo tiene una descomposición nodal en . Esta propiedad juega un papel importante en la construcción de envolventes y refinamientos en.
En una categoría abeliana la descomposición básica
es siempre nodal. Como corolario, todas las categorías abelianas tienen descomposición nodal .
Si una categoría pre-abeliana es linealmente completo, [6] bien potenciado en fuertes monomorfismos [7] y co-bien potenciado en fuertes epimorfismos, [8] entoncestiene descomposición nodal. [9]
De manera más general, suponga una categoríaes linealmente completo, [6] bien potenciado en monomorfismos fuertes, [7] co-bien potenciado en epimorfismos fuertes, [8] y además los epimorfismos fuertes disciernen monomorfismos [10] en, y, dualmente, los monomorfismos fuertes disciernen los epimorfismos [11] en, luego tiene descomposición nodal. [12]
La categoría Ste de los espacios de estereotipos (que no son abelianos) tiene descomposición nodal, [13] así como la categoría SteAlg (no aditiva ) de las álgebras de estereotipos . [14]
Notas
- ↑ a b Akbarov , 2016 , p. 28.
- ^ Un epimorfismo se dice que es fuerte , si por algún monomorfismo y para cualquier morfismo y tal que existe un morfismo , tal que y .
- ↑ a b Borceux, 1994 .
- ↑ a b Tsalenko, 1974 .
- ^ Un monomorfismo se dice que es fuerte , si por algún epimorfismo y para cualquier morfismo y tal que existe un morfismo , tal que y
- ^ a b A categoríase dice que es linealmente completo , si cualquier funtor de un conjunto ordenado linealmente entiene límites directos e inversos .
- ^ a b A categoríase dice que está bien potenciado en fuertes monomorfismos , si para cada objeto la categoría de todos los monomorfismos fuertes en es esqueléticamente pequeño (es decir, tiene un esqueleto que es un conjunto).
- ^ a b A categoríase dice que es co-bien potenciado en epimorfismos fuertes , si para cada objeto la categoría de todos los epimorfismos fuertes de es esqueléticamente pequeño (es decir, tiene un esqueleto que es un conjunto).
- ↑ Akbarov , 2016 , p. 37.
- ^ Se dice que los epimorfismos fuertes disciernen los monomorfismos en una categoría, si cada morfismo , que no es un monomorfismo, se puede representar como una composición , dónde es un epimorfismo fuerte que no es un isomorfismo.
- ^ Se dice que los monomorfismos fuertes disciernen epimorfismos en una categoría, si cada morfismo , que no es un epimorfismo, se puede representar como una composición , dónde es un monomorfismo fuerte que no es un isomorfismo.
- ↑ Akbarov , 2016 , p. 31.
- ↑ Akbarov , 2016 , p. 142.
- ↑ Akbarov , 2016 , p. 164.
Referencias
- Borceux, F. (1994). Manual de álgebra categórica 1. Teoría básica de categorías . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521061193.
- Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974). Fundamentos de la teoría de categorías . Nauka.
- Akbarov, SS (2016). "Sobres y refinamientos en categorías, con aplicaciones al análisis funcional" . Dissertationes Mathematicae . 513 : 1–188. arXiv : 1110.2013 . doi : 10.4064 / dm702-12-2015 . S2CID 118895911 .