En la teoría de categorías y campos relacionados de las matemáticas, una envolvente es una construcción que generaliza las operaciones de "terminación exterior", como la terminación de un espacio localmente convexo o la compactación Stone-Čech de un espacio topológico. Una construcción dual se llama refinamiento .
Definición
Suponer es una categoría, un objeto en , y y dos clases de morfismos en . La definición [1] de un sobre de en la clase con respecto a la clase consta de dos pasos.
- Un morfismo en se llama una extensión del objeto en la clase de morfismos con respecto a la clase de morfismos , Si , y para cualquier morfismo de la clase existe un morfismo único en tal que .
- Una extensión del objeto en la clase de morfismos con respecto a la clase de morfismos se llama un sobre de en con respecto a , si por alguna otra extensión (de en con respecto a ) hay un morfismo único en tal que . El objetotambién se llama un sobre de en con respecto a .
Anotaciones:
En un caso especial cuando es una clase de todos los morfismos cuyos rangos pertenecen a una clase determinada de objetos en es conveniente reemplazar con en las notaciones (y en los términos):
Del mismo modo, si es una clase de todos los morfismos cuyos rangos pertenecen a una clase determinada de objetos en es conveniente reemplazar con en las notaciones (y en los términos):
Por ejemplo, se puede hablar de un sobre de en la clase de objetos con respecto a la clase de objetos :
Redes de epimorfismos y funcionalidad
Supongamos que para cada objeto en una categoría se le asigna un subconjunto en la clase de todos los epimorfismos de la categoría , ir desde , y se cumplen los tres requisitos siguientes:
- para cada objeto el conjunto no está vacío y está dirigido a la izquierda con respecto al pedido anticipado heredado de
- para cada objeto el sistema covariante de morfismos generado por
- tiene un colimit en , llamado el límite local en ;
- para cada morfismo y para cada elemento hay un elemento y un morfismo [2] tal que
Entonces la familia de conjuntos se llama una red de epimorfismos en la categoría.
Ejemplos.
- Para cada espacio vectorial topológico localmente convexo y para cada vecindad balanceada convexa cerrada de cero consideremos su núcleo y el espacio del cociente dotado de la topología normada con la unidad de bola , y deja ser la finalización de (obviamente, es un espacio de Banach , y se llama el cociente espacio de Banach de por ). El sistema de mapeos naturales es una red de epimorfismos en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos.
- Para cada álgebra topológica localmente convexa y para cada vecindario equilibrado convexo cerrado submultiplicativo de cero,
- ,
- consideremos nuevamente su núcleo y el álgebra del cociente dotado de la topología normada con la unidad de bola , y deja ser la finalización de (obviamente, es un álgebra de Banach , y se llama el cociente álgebra de Banach de por ). El sistema de mapeos naturales es una red de epimorfismos en la categoría de álgebras topológicas localmente convexas.
Teorema. [3] Deja ser una red de epimorfismos en una categoría que genera una clase de morfismos en el interior:
Luego, para cualquier clase de epimorfismos. en , que contiene todos los límites locales ,
lo siguiente sostiene:
- (i) para cada objeto en el límite local es un sobre en con respecto a :
- (ii) el sobre se puede definir como un funtor.
Teorema. [4] Deja ser una red de epimorfismos en una categoría que genera una clase de morfismos en el interior:
Luego, para cualquier clase de epimorfismos monomórficamente complementarios en tal que está co-bien potenciado [5] en la envoltura se puede definir como un funtor.
Teorema. [6] Suponga una categoría y una clase de objetos tienen las siguientes propiedades:
- (I) es cocompleto ,
- (ii) tiene descomposición nodal ,
- (iii) está bien potenciado en la clase , [7]
- (iv) viene de :
- ,
- (v) difiere morfismos en el exterior: para dos morfismos paralelos diferentes hay un morfismo tal que ,
- (vi) está cerrado con respecto al pasaje a colimits,
- (vii) está cerrado con respecto al paso del codominio de un morfismo a su imagen nodal : si, luego .
Entonces el sobre se puede definir como un funtor.
Ejemplos de
En la siguiente lista, todas las envolventes se pueden definir como functores.
- 1. La finalizaciónde un espacio vectorial topológico localmente convexo es un sobre de en la categoria de todos los espacios localmente convexos con respecto a la clase de espacios de Banach : [8]. Obviamente, es el límite inverso del cociente de espacios de Banach (definido arriba):
- 2. La compactación Stone – Čechde un espacio topológico de Tikhonov es un sobre de en la categoria de todos los espacios de Tikhonov en la clase de espacios compactos con respecto a la misma clase : [8]
- 3. El sobre de Arens-Michael [9] [10] [11] [12] de un álgebra topológica localmente convexa con una multiplicación continua separada es una envolvente de en la categoria de todas las álgebras topológicas (localmente convexas) (con multiplicaciones continuas por separado) en la clase con respecto a la clase de las álgebras de Banach: . El álgebra es el límite inverso del cociente álgebras de Banach (definido arriba):
- 4. La envoltura holomórfica [13]de un estereotipo de álgebra es un sobre de en la categoria de todas las álgebras estereotipadas de la clase de todos los epimorfismos densos [14] en con respecto a la clase de todas las álgebras de Banach:
- 5. El sobre liso [15]de un estereotipo de álgebra es un sobre de en la categoria de todas las álgebras de estereotipos involutivos en la clase de todos los epimorfismos densos [14] en con respecto a la clase de todos los homomorfismos diferenciales en varias C * -álgebras con elementos nilpotentes autoadjuntos unidos:
- 6. El sobre continuo [16] [17]de un estereotipo de álgebra es un sobre de en la categoria de todas las álgebras de estereotipos involutivos en la clase de todos los epimorfismos densos [14] en con respecto a la clase de todas las C * -álgebras:
Aplicaciones
Los sobres aparecen como functores estándar en varios campos de las matemáticas. Aparte de los ejemplos dados anteriormente,
- la transformación de Gelfand de un álgebra estereotípica involutiva conmutativa es un sobre continuo de ; [18] [19]
- para cada grupo abeliano localmente compacto la transformada de Fourier es una envoltura continua del álgebra de grupo de estereotipos de medidas con soporte compacto en . [18]
En el análisis armónico abstracto, la noción de envolvente juega un papel clave en las generalizaciones de la teoría de la dualidad de Pontryagin [20] a las clases de grupos no conmutativos: las envolturas holomórficas, suaves y continuas de las álgebras de estereotipos (en los ejemplos dados anteriormente ) conducen respectivamente a las construcciones de las dualidades holomórfica, suave y continua en las grandes disciplinas geométricas - geometría compleja , geometría diferencial y topología - para ciertas clases de grupos topológicos (no necesariamente conmutativos) considerados en estas disciplinas ( grupos algebraicos afines , y algunas clases de grupos de Lie y grupos de Moore). [21] [18] [20] [22]
Ver también
- Refinamiento
Notas
- ↑ Akbarov , 2016 , p. 42.
- ^ significa el codominio del morfismo .
- ^ Akbarov 2016 , Teorema 3.37.
- ^ Akbarov 2016 , Teorema 3.38.
- ^ Una categoríase dice que está bien potenciado en una clase de morfismos , si para cada objeto la categoría de todos los morfismos en ir desde es esqueléticamente pequeño.
- ^ Akbarov 2016 , Teorema 3.60.
- ^ Una categoríase dice que está bien potenciado en la clase de epimorfismos , si para cada objeto la categoría de todos los morfismos en ir desde es esqueléticamente pequeño.
- ↑ a b Akbarov , 2016 , p. 50.
- ^ Helemskii 1993 , p. 264.
- ^ Pirkovskii, 2008 .
- ↑ Akbarov , 2009 , p. 542.
- ↑ Akbarov , 2010 , p. 275.
- ↑ Akbarov , 2016 , p. 170.
- ^ a b c Un morfismo (es decir, un homomorfismo unital continuo) de las álgebras de estereotipos se llama denso si su conjunto de valores es denso en .
- ↑ Akbarov 2017b , p. 741.
- ↑ Akbarov , 2016 , p. 179.
- ↑ Akbarov 2017b , p. 673.
- ↑ a b c Akbarov, 2016 .
- ↑ Akbarov, 2013 .
- ↑ a b Akbarov, 2017 .
- ↑ Akbarov, 2009 .
- ^ Kuznetsova 2013 .
Referencias
- Helemskii, A.Ya. (1993). Álgebras de Banach y localmente convexas . Publicaciones científicas de Oxford. Prensa de Clarendon .
- Pirkovskii, A.Yu. (2008). "Envolventes de Arens-Michael, epimorfismos homológicos y álgebras relativamente casi libres" (PDF) . Trans. Matemáticas de Moscú. Soc . 69 : 27-104. doi : 10.1090 / S0077-1554-08-00169-6 .
- Akbarov, SS (2009). "Funciones holomorfas de tipo exponencial y dualidad para grupos Stein con componente algebraico conectado de identidad". Revista de Ciencias Matemáticas . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi : 10.1007 / s10958-009-9646-1 . S2CID 115153766 .
- Akbarov, SS (2010). Álgebras de estereotipos y dualidad para grupos de Stein (Tesis). Universidad estatal de Moscú.
- Akbarov, SS (2016). "Sobres y refinamientos en categorías, con aplicaciones al análisis funcional" . Dissertationes Mathematicae . 513 : 1–188. arXiv : 1110.2013 . doi : 10.4064 / dm702-12-2015 . S2CID 118895911 .
- Akbarov, SS (2017a). "Envolventes continuas y suaves de álgebras topológicas. Parte 1". Revista de Ciencias Matemáticas . 227 (5): 531–668. arXiv : 1303.2424 . doi : 10.1007 / s10958-017-3599-6 . S2CID 126018582 .
- Akbarov, SS (2017b). "Envolventes continuas y suaves de álgebras topológicas. Parte 2". Revista de Ciencias Matemáticas . 227 (6): 669–789. arXiv : 1303.2424 . doi : 10.1007 / s10958-017-3600-4 . S2CID 128246373 .
- Akbarov, SS (2013). "El Gelfand se transforma como un sobre C *". Notas matemáticas . 94 (5–6): 814–815. doi : 10.1134 / S000143461311014X . S2CID 121354607 .
- Kuznetsova, Y. (2013). "Una dualidad para los grupos de Moore". Revista de teoría del operador . 69 (2): 101–130. arXiv : 0907.1409 . Código bibliográfico : 2009arXiv0907.1409K . doi : 10.7900 / jot.2011mar17.1920 . S2CID 115177410 .