En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría preabeliana es una categoría aditiva que tiene todos los núcleos y conúcleos .
Tenga en cuenta que el morfismo cero en el elemento 3 se puede identificar como el elemento de identidad del conjunto hom Hom( A , B ), que es un grupo abeliano por el elemento 1; o como el único morfismo A → 0 → B , donde 0 es un objeto cero , cuya existencia está garantizada por el elemento 2.
El ejemplo original de una categoría aditiva es la categoría Ab de grupos abelianos . Ab es preaditivo porque es una categoría monoidal cerrada , el biproducto en Ab es la suma directa finita , el núcleo es la inclusión del núcleo ordinario de la teoría de grupos y el conúcleo es el mapa del cociente en el conúcleo ordinario de la teoría de grupos .
Estos le darán una idea de qué pensar; para ver más ejemplos, consulte categoría abeliana (cada categoría abeliana es pre-abeliana).
Toda categoría preabeliana es, por supuesto, una categoría aditiva , y muchas propiedades básicas de estas categorías se describen bajo ese tema. Este artículo se ocupa de las propiedades que tienen específicamente debido a la existencia de kernels y cokernels.
Aunque los núcleos y los conúcleos son tipos especiales de ecualizadores y coecualizadores , una categoría preabeliana en realidad tiene todos los ecualizadores y coecualizadores. Simplemente construimos el ecualizador de dos morfismos f y g como el núcleo de su diferencia g − f ; del mismo modo, su coigualador es el conúcleo de su diferencia. (El término alternativo "núcleo de diferencia" para los ecualizadores binarios se deriva de este hecho). Dado que las categorías preabelianas tienen todos los productos y coproductos finitos (los biproductos) y todos los ecualizadores y coecualizadores binarios (como se acaba de describir), entonces por un teorema general de teoría de categorías, tienen todos límites y colímites finitos . Es decir, las categorías preabelianas son finitamente completas .