Un nomograma (del griego νόμος nomos , "ley" y γραμμή grammē , "línea"), también llamado nomograma , tabla de alineación o abaque , es un dispositivo de cálculo gráfico, un diagrama bidimensional diseñado para permitir el cálculo gráfico aproximado de una función matemática . El campo de la nomografía fue inventado en 1884 por el ingeniero francés Philbert Maurice d'Ocagne (1862-1938) y se utilizó ampliamente durante muchos años para proporcionar a los ingenieros cálculos gráficos rápidos de fórmulas complicadas con una precisión práctica. Los nomogramas utilizan un sistema de coordenadas paraleloinventado por d'Ocagne en lugar de las coordenadas cartesianas estándar .
Un nomograma consta de un conjunto de n escalas, una para cada variable de una ecuación. Conociendo los valores de n-1 variables, se puede encontrar el valor de la variable desconocida, o fijando los valores de algunas variables, se puede estudiar la relación entre las no fijadas. El resultado se obtiene colocando una regla a través de los valores conocidos en las escalas y leyendo el valor desconocido desde donde cruza la escala para esa variable. La línea virtual o dibujada creada por la regla se llama línea índice o isopleta .
Los nomogramas florecieron en muchos contextos diferentes durante aproximadamente 75 años porque permitieron cálculos rápidos y precisos antes de la era de las calculadoras de bolsillo. Los resultados de un nomograma se obtienen de forma muy rápida y fiable simplemente dibujando una o más líneas. El usuario no tiene que saber cómo resolver ecuaciones algebraicas, buscar datos en tablas, usar una regla de cálculo o sustituir números en ecuaciones para obtener resultados. El usuario ni siquiera necesita conocer la ecuación subyacente que representa el nomograma. Además, los nomogramas incorporan naturalmente conocimientos de dominio implícitos o explícitos.en su diseño. Por ejemplo, para crear nomogramas más grandes para una mayor precisión, el nomógrafo generalmente incluye solo rangos de escala que son razonables y de interés para el problema. Muchos nomogramas incluyen otras marcas útiles, como etiquetas de referencia y regiones coloreadas. Todos estos proporcionan guías útiles para el usuario.
Al igual que una regla de cálculo, un nomograma es un dispositivo de cálculo analógico gráfico y, al igual que la regla de cálculo, su precisión está limitada por la precisión con la que se pueden dibujar, reproducir, visualizar y alinear las marcas físicas. Si bien la regla de cálculo está destinada a ser un dispositivo de uso general, un nomograma está diseñado para realizar un cálculo específico, con tablas de valores integradas de manera efectiva en la construcción de las escalas . Los nomogramas se utilizan normalmente en aplicaciones en las que el nivel de precisión que ofrecen es suficiente y útil. Alternativamente, se puede usar un nomograma para verificar una respuesta obtenida de otro cálculo más exacto pero posiblemente propenso a errores.
Otros tipos de calculadoras gráficas, como los gráficos de intersección , los diagramas trilineales y los gráficos hexagonales, a veces se denominan nomogramas. Otros ejemplos similares incluyen el gráfico de Smith , una calculadora gráfica utilizada en análisis de sistemas y electrónica , diagramas termodinámicos y tefigramas , que se utiliza para trazar la estructura vertical de la atmósfera y realizar cálculos sobre su estabilidad y contenido de humedad. Estos no cumplen con la definición estricta de un nomograma como calculadora gráfica cuya solución se encuentra mediante el uso de una o más isopletas lineales.
Descripción [ editar ]
Un nomograma para una ecuación de tres variables normalmente tiene tres escalas, aunque existen nomogramas en los que dos o incluso las tres escalas son comunes. Aquí dos escalas representan valores conocidos y la tercera es la escala donde se lee el resultado. La ecuación más simple es u 1 + u 2 + u 3 = 0 para las tres variables u 1 , u 2 y u 3 . Un ejemplo de este tipo de nomograma se muestra a la derecha, anotado con términos utilizados para describir las partes de un nomograma.
A veces, las ecuaciones más complicadas se pueden expresar como la suma de funciones de las tres variables. Por ejemplo, el nomograma en la parte superior de este artículo podría construirse como un nomograma de escala paralela porque puede expresarse como tal suma después de tomar los logaritmos de ambos lados de la ecuación.
La escala de la variable desconocida puede encontrarse entre las otras dos escalas o fuera de ellas. Los valores conocidos del cálculo se marcan en las escalas para esas variables y se traza una línea entre estas marcas. El resultado se lee en la escala desconocida en el punto donde la línea se cruza con esa escala. Las escalas incluyen 'marcas de verificación' para indicar la ubicación exacta de los números, y también pueden incluir valores de referencia etiquetados. Estas escalas pueden ser lineales , logarítmicas o tener alguna relación más compleja.
La isopleta de muestra que se muestra en rojo en el nomograma en la parte superior de este artículo calcula el valor de T cuando S = 7,30 y R = 1,17. La isopleta cruza la escala de T justo por debajo de 4,65; una cifra más grande impresa en alta resolución en papel produciría T = 4,64 con una precisión de tres dígitos. Tenga en cuenta que cualquier variable se puede calcular a partir de los valores de las otras dos, una característica de los nomogramas que es particularmente útil para ecuaciones en las que una variable no puede aislarse algebraicamente de las otras variables.
Las escalas rectas son útiles para cálculos relativamente simples, pero para cálculos más complejos puede ser necesario el uso de escalas curvas simples o elaboradas. Se pueden construir nomogramas para más de tres variables incorporando una cuadrícula de escalas para dos de las variables, o concatenando nomogramas individuales de un menor número de variables en un nomograma compuesto.
Aplicaciones [ editar ]
Los nomogramas se han utilizado en una amplia gama de aplicaciones. Una muestra incluye
- La aplicación original de d'Ocagne, la automatización de cálculos complicados de corte y relleno para remoción de tierra durante la construcción del sistema ferroviario nacional francés. Esta fue una prueba de concepto importante, porque los cálculos no son triviales y los resultados se traducen en importantes ahorros de tiempo, esfuerzo y dinero.
- El diseño de canales, tuberías y alambres para regular el flujo de agua.
- El trabajo de Lawrence Henderson , en el que se utilizaron nomogramas para correlacionar muchos aspectos diferentes de la fisiología de la sangre. Fue el primer uso importante de nomogramas en los Estados Unidos y también los primeros nomogramas médicos en cualquier lugar. Los nomogramas continúan utilizándose ampliamente en los campos médicos.
- Cálculos balísticos previos a los sistemas de control de incendios, donde el cálculo del tiempo era crítico.
- Cálculos de taller de máquinas, para convertir las dimensiones del plano y realizar cálculos basados en las dimensiones y propiedades del material. Estos nomogramas a menudo incluían marcas para dimensiones estándar y para piezas fabricadas disponibles.
- Estadísticas, para cálculos complicados de propiedades de distribuciones y para investigación de operaciones, incluido el diseño de pruebas de aceptación para control de calidad.
- Investigación de Operaciones, para obtener resultados en una variedad de problemas de optimización.
- Química e ingeniería química, para encapsular tanto las relaciones físicas generales como los datos empíricos de compuestos específicos.
- Aeronáutica, en la que los nomogramas se utilizaron durante décadas en las cabinas de aviones de todas las descripciones. Como ayuda para la navegación y el control de vuelo, los nomogramas eran calculadoras rápidas, compactas y fáciles de usar.
- Cálculos astronómicos, como en los cálculos orbitales posteriores al lanzamiento del Sputnik 1 por PE Elyasberg. [1]
- Trabajos de ingeniería de todo tipo: Diseño eléctrico de filtros y líneas de transmisión, cálculos mecánicos de esfuerzos y cargas, cálculos ópticos, etc.
- Militar, donde es necesario realizar cálculos complejos en el campo de manera rápida y con confiabilidad que no depende de dispositivos eléctricos.
- Sismología , donde se han desarrollado nomogramas para estimar la magnitud del terremoto y presentar los resultados de análisis probabilísticos de peligro sísmico [2]
Ejemplos [ editar ]
Resistencia paralela / lente delgada [ editar ]
El nomograma siguiente realiza el cálculo
Este nomograma es interesante porque realiza un cálculo no lineal útil utilizando solo escalas en línea recta, igualmente graduadas. Si bien la línea diagonal tiene una escala veces más grande que las escalas de los ejes, los números en ella coinciden exactamente con los que están directamente debajo o a su izquierda, por lo que se puede crear fácilmente dibujando una línea recta en diagonal en una hoja de papel cuadriculado .
A y B se ingresan en las escalas horizontal y vertical, y el resultado se lee en la escala diagonal. Al ser proporcional a la media armónica de A y B , esta fórmula tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, es la fórmula de resistencia en paralelo en electrónica y la ecuación de lente delgada en óptica .
En el ejemplo, la línea roja demuestra que las resistencias en paralelo de 56 y 42 ohmios tienen una resistencia combinada de 24 ohmios. También demuestra que un objeto a una distancia de 56 cm de una lente cuya distancia focal es de 24 cm forma una imagen real a una distancia de 42 cm.
Cálculo de la prueba de chi-cuadrado [ editar ]
El nomograma a continuación se puede utilizar para realizar un cálculo aproximado de algunos valores necesarios al realizar una prueba estadística familiar, la prueba de chi-cuadrado de Pearson . Este nomograma demuestra el uso de escalas curvas con graduaciones espaciadas desigualmente.
La expresión relevante es
La escala a lo largo de la parte superior se comparte entre cinco rangos diferentes de valores observados: A, B, C, D y E. El valor observado se encuentra en uno de estos rangos, y la marca de verificación utilizada en esa escala se encuentra inmediatamente encima. Luego, la escala curva utilizada para el valor esperado se selecciona en función del rango. Por ejemplo, un valor observado de 9 usaría la marca de verificación por encima del 9 en el rango A, y la escala curva A se usaría para el valor esperado. Un valor observado de 81 usaría la marca de verificación por encima de 81 en el rango E, y la escala curva E se usaría para el valor esperado. Esto permite incorporar cinco nomogramas diferentes en un solo diagrama.
De esta manera, la línea azul demuestra el cálculo de
- (9 - 5) 2 /5 = 3,2
y la línea roja demuestra el cálculo de
- (81 - 70) 2 /70 = 1,7
Al realizar la prueba, a menudo se aplica la corrección de continuidad de Yates , y simplemente implica restar 0.5 de los valores observados. Se podría construir un nomograma para realizar la prueba con la corrección de Yates simplemente desplazando cada escala "observada" media unidad hacia la izquierda, de modo que las graduaciones 1.0, 2.0, 3.0, ... se coloquen donde los valores 0.5, 1.5, 2.5 , ... aparecen en el gráfico actual.
Evaluación de riesgos alimentarios [ editar ]
Aunque los nomogramas representan relaciones matemáticas, no todos se derivan matemáticamente. El siguiente se desarrolló gráficamente para lograr resultados finales apropiados que podrían definirse fácilmente por el producto de sus relaciones en unidades subjetivas en lugar de numéricamente. El uso de ejes no paralelos permitió incorporar las relaciones no lineales al modelo.
Los números en casillas cuadradas indican los ejes que requieren entrada después de una evaluación adecuada.
El par de nomogramas en la parte superior de la imagen determina la probabilidad de ocurrencia y la disponibilidad, que luego se incorporan al nomograma multietapa inferior.
Las líneas 8 y 10 son 'líneas de unión' o 'líneas de pivote' y se utilizan para la transición entre las etapas del nomograma compuesto.
El par final de escalas logarítmicas paralelas (12) no son nomogramas como tales, sino escalas de lectura para traducir la puntuación de riesgo (11, remota a extremadamente alta) en una frecuencia de muestreo para abordar aspectos de seguridad y otros aspectos de `` protección del consumidor '', respectivamente. . Esta etapa requiere una participación política que equilibre el costo con el riesgo. El ejemplo utiliza una frecuencia mínima de tres años para cada uno, aunque con el extremo de alto riesgo de las escalas diferente para los dos aspectos, dando diferentes frecuencias para los dos, pero ambos sujetos a un muestreo mínimo general de cada alimento para todos los aspectos al menos una vez cada tres años.
Este nomograma de evaluación de riesgos fue desarrollado por el Servicio de Analistas Públicos del Reino Unido con fondos de la Agencia de Normas Alimentarias del Reino Unido para su uso como una herramienta para orientar la frecuencia adecuada de muestreo y análisis de alimentos con fines oficiales de control de alimentos, destinado a ser utilizado para evaluar todo el potencial problemas con todos los alimentos, aunque aún no se han adoptado.
Estimación del tamaño de la muestra [ editar ]
Este nomograma se puede utilizar para estimar los requisitos de tamaño de muestra para análisis estadísticos. Utiliza cuatro parámetros: α (fijo), tamaño del efecto ( ρ o δ ), potencia estadística y número de casos N (dos escalas para α = .05 (liberal) o .01 (conservador)).
El tamaño del efecto hipotética en la población o bien puede ser expresada como un coeficiente de correlación ( ρ ) o una diferencia normalizada en los medios ( δ ) para un T-test . La diferencia normalizada es igual al valor absoluto de la diferencia entre dos medias de población ( mu ₁ - mu $ ₂ $), dividido por la desviación estándar combinada ( s ).
La potencia estadística deseada se estima mediante 1 - β , donde β es igual a la probabilidad de cometer un error de tipo II. Un error de tipo II es no rechazar la hipótesis nula estadística (es decir, ρ o δ es cero), cuando en realidad la hipótesis nula es falsa en la población y debe rechazarse. Cohen (1977) [3] recomienda utilizar una potencia igual a 0,80 u 80%, para un β = 0,20.
El tamaño de la muestra o el número de casos requeridos se informa para dos niveles estándar de significación estadística ( α = 0,01 o 0,05). El valor de α es la probabilidad de cometer un error de tipo I. Un error de tipo I es rechazar la hipótesis nula estadística (es decir, afirmar que ρ o δ es cero), cuando en realidad es cierto (el valor es cero) en la población y no debe rechazarse. Los valores de α más utilizados son 0,05 o 0,01.
Para encontrar los requisitos de tamaño de muestra para un análisis estadístico dado, estime el tamaño del efecto esperado en la población ( ρ o δ ) en el eje de la izquierda, seleccione el nivel de potencia deseado en el eje de la derecha y dibuje una línea entre los dos valores.
Donde la línea se cruza con el eje medio α = 0.05 o α = 0.01 indicará el tamaño de muestra requerido para lograr una significancia estadística de α menor que 0.05 o 0.01, respectivamente (para los parámetros dados previamente).
Por ejemplo, si se estima que la correlación poblacional ( ρ ) es 0,30 y se desea un poder estadístico igual a 0,80, entonces para obtener un nivel de significación de α menor que 0,05, el requisito de tamaño de muestra sería N = 70 casos redondeados (más precisamente aproximadamente 68 casos usando interpolación).
Otros nomogramas rápidos [ editar ]
Con una regla, se puede leer fácilmente el término faltante de la ley de los senos o las raíces de la ecuación cuadrática y cúbica . [4]
Ver también [ editar ]
- Cartograma
- Sistema coordinado
- El decimotercer problema de Hilbert
- Línea de carga (electrónica)
- Gráfico log-log
- Gráfico semilogarítmico
- Gráfico de Smith
Referencias [ editar ]
 | Este artículo incluye una lista de referencias generales , pero permanece en gran parte sin verificar porque carece de suficientes citas en línea correspondientes . ( Noviembre de 2013 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla ) |
- ^ Yu.A.Mozzhorin Memories Archivado 2007-10-18 en Wayback Machine en el sitio web del archivo estatal ruso para documentación científico-técnica
- ^ Douglas, John; Danciu, Laurentiu (8 de noviembre de 2019). "Nomograma para ayudar a explicar el riesgo sísmico probabilístico" . Revista de sismología : 671. Código bibliográfico : 2019JSeis.tmp..671D . doi : 10.1007 / s10950-019-09885-4 . ISSN 1573-157X .
- ^ Cohen, J. (1977). Análisis de poder estadístico para las ciencias del comportamiento , 2do. ed. San Diego, CA: Prensa académica
- ^ Szalkai, Istvan; Balint, Roland (28 de diciembre de 2017). "Nomogramas para las ecuaciones cuadráticas y cúbicas (en húngaro)" (PDF) . Haladvány Kiadvány . 2017.
Lectura adicional [ editar ]
- DP Adams, Nomografía: teoría y aplicación , (Archon Books) 1964.
- HJ Allcock, J. Reginald Jones y JGL Michel, The Nomogram. The Theory and Practical Construction of Computation Charts , 5th ed., (Londres: Sir Isaac Pitman & Sons, Ltd.) 1963.
- S. Brodestsky, Un primer curso en nomografía , (Londres, G. Bell and Sons) 1920.
- DS Davis, Ecuaciones empíricas y nomografía , (Nueva York: McGraw-Hill Book Co.) 1943.
- M. d'Ocagne: Traité de Nomographie , (Gauthier-Villars, París) 1899.
- M. d'Ocagne: (1900) Sur la résolution nomographique de l'équation du septième degré . Comptes rendus (París), 131, 522–524.
- RD Douglass y DP Adams, Elements of Nomography , (Nueva York: McGraw-Hill) 1947.
- RP Hoelscher, et al., Ayudas gráficas en ingeniería informática , (Nueva York: McGraw-Hill) 1952.
- L. Ivan Epstein, Nomography , (Nueva York: Interscience Publishers) 1958.
- LH Johnson, Nomografía y ecuaciones empíricas , (Nueva York: John Wiley and Sons) 1952.
- M. Kattan y J. Marasco. (2010) ¿Qué es un nomograma real? , Seminarios en oncología, 37 (1), 23-26.
- AS Levens, Nomography , 2nd ed., (Nueva York: John Wiley & Sons, Inc.) 1959.
- FT Mavis, The Construction of Nomographic Charts , (Scranton, International Textbook) 1939.
- E. Otto, Nomography , (Nueva York: The Macmillan Company) 1963.
- HA Evesham La historia y el desarrollo de la nomografía , (Boston: Docent Press) 2010. ISBN 9781456479626
- TH Gronwall, R. Doerfler, A. Gluchoff y S. Guthery, Calculating Curves: The Mathematics, History, and Aesthetic Appeal of TH Gronwall's Nomographic Work , (Boston: Docent Press) 2012. ISBN 9780983700432
Enlaces externos [ editar ]
 | Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Nomogramas . |
 | Busque nomograma en Wiktionary, el diccionario gratuito. |
- Weisstein, Eric W. "Nomograma" . MathWorld .
- El arte de la nomografía describe el diseño de nomogramas utilizando geometría, determinantes y transformaciones.
- The Lost Art of Nomography es un artículo de una revista de matemáticas que examina el campo de la nomografía.
- Nomogramas para Wargames pero también de interés general.
- PyNomo : software de código abierto para construir nomogramas.
- Applet de Java para construir nomogramas simples.
- Nomogramas para visualizar relaciones entre tres variables : video y diapositivas de la charla invitada por Jonathan Rougier para useR! 2011.
