En matemáticas , D 3 (a veces alternativamente denotado por D 6 ) es el grupo diedro de grado 3, o, en otras palabras, el grupo diedro de orden 6. Es isomorfo al grupo simétrico S 3 de grado 3. También es el grupo no abeliano más pequeño posible . [1]
Esta página ilustra muchos conceptos de grupo usando este grupo como ejemplo.
Grupos de simetría
El grupo diedro D 3 es el grupo de simetría de un triángulo equilátero , es decir, es el conjunto de todas las transformaciones como reflexión, rotación y combinaciones de estas, que dejan fija la forma y posición de este triángulo. En el caso de D 3 , toda posible permutación de los vértices del triángulo constituye tal transformación, de modo que el grupo de estas simetrías es isomorfo al grupo simétrico S 3 de todas las permutaciones de tres elementos distintos. Este no es el caso de los grupos diedros de órdenes superiores.
El grupo diedro D 3 es isomorfo a otros dos grupos de simetría en tres dimensiones:
- uno con un eje de rotación de 3 veces y un eje de rotación de 2 veces perpendicular (por lo tanto, tres de estos): D 3
- uno con un eje de rotación triple en un plano de reflexión (y, por lo tanto, también en otros dos planos de reflexión): C 3v
Permutaciones de un conjunto de tres objetos
Considere tres bloques de colores (rojo, verde y azul), inicialmente colocados en el orden RGB. El grupo simétrico S 3 es entonces el grupo de todos los posibles reordenamientos de estos bloques. Si denotamos por a la acción "intercambiar los dos primeros bloques", y por b la acción "intercambiar los dos últimos bloques", podemos escribir todas las permutaciones posibles en términos de estas dos acciones.
En forma multiplicativa, tradicionalmente escribimos xy para la acción combinada "primero haz y , luego haz x "; de modo que ab es la acción RGB ↦ RBG ↦ BRG , es decir, "tomar el último bloque y moverlo al frente". Si escribimos e para "dejar los bloques como están" (la acción de identidad), entonces podemos escribir las seis permutaciones del conjunto de tres bloques como las siguientes acciones:
- e : RGB ↦ RGB o ()
- a : RGB ↦ GRB o (RG)
- b : RGB ↦ RBG o (GB)
- ab : RGB ↦ BRG o (RBG)
- ba : RGB ↦ GBR o (RGB)
- aba : RGB ↦ BGR o (RB)
La notación entre paréntesis es la notación cíclica .
Tenga en cuenta que la acción aa tiene el efecto RGB ↦ GRB ↦ RGB , dejando los bloques como estaban; entonces podemos escribir aa = e . Similar,
- bb = e ,
- ( aba ) ( aba ) = e , y
- ( ab ) ( ba ) = ( ba ) ( ab ) = e ;
por lo que cada una de las acciones anteriores tiene una inversa.
Por inspección, también podemos determinar la asociatividad y el cierre (dos de los axiomas de grupo necesarios ); nota, por ejemplo, que
- ( ab ) a = a ( ba ) = aba , y
- ( ba ) b = b ( ab ) = bab .
El grupo no es abeliano ya que, por ejemplo, ab ≠ ba . Puesto que se construye a partir de las acciones básicas de una y B , decimos que el conjunto { a , b } genera la misma.
El grupo tiene presentación
- , también escrito
- o
- , también escrito
donde a y b son intercambios y r = ab es una permutación cíclica. Tenga en cuenta que la segunda presentación significa que el grupo es un grupo Coxeter . (De hecho, todos los grupos diedros y de simetría son grupos Coxeter).
Resumen de las operaciones del grupo
Con los generadores de un y b , definimos las abreviaturas adicionales c : = aba , d : = ab y f : = ba , de manera que a, b, c, d, e , y f son todos los elementos de este grupo. Luego podemos resumir las operaciones del grupo en forma de una tabla de Cayley :
* | mi | a | B | C | D | F |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | a | B | C | D | F |
a | a | mi | D | F | B | C |
B | B | F | mi | D | C | a |
C | C | D | F | mi | a | B |
D | D | C | a | B | F | mi |
F | F | B | C | a | mi | D |
Tenga en cuenta que los elementos no identitarios no iguales solo se conmutan si son inversos entre sí. Por lo tanto, el grupo no tiene centro , es decir, el centro del grupo consiste solo en el elemento de identidad.
Clases conjugadas
Podemos distinguir fácilmente tres tipos de permutaciones de los tres bloques, las clases de conjugación del grupo:
- sin cambios (), un elemento de grupo de orden 1
- intercambiando dos bloques: (RG), (RB), (GB), tres elementos de grupo de orden 2
- una permutación cíclica de los tres bloques: (RGB), (RBG), dos elementos de grupo de orden 3
Por ejemplo, (RG) y (RB) son ambos de la forma ( x y ); una permutación de las letras R, G y B (a saber (GB)) cambia la notación (RG) a (RB). Por lo tanto, si aplicamos (GB), luego (RB) y luego la inversa de (GB), que también es (GB), la permutación resultante es (RG).
Tenga en cuenta que los elementos del grupo conjugado siempre tienen el mismo orden , pero en general no es necesario conjugar dos elementos del grupo que tienen el mismo orden.
Subgrupos
Del teorema de Lagrange sabemos que cualquier subgrupo no trivial de un grupo con 6 elementos debe tener orden 2 o 3. De hecho, las dos permutaciones cíclicas de los tres bloques, con la identidad, forman un subgrupo de orden 3, índice 2 y los intercambios de dos bloques, cada uno con la identidad, forman tres subgrupos de orden 2, índice 3. La existencia de subgrupos de orden 2 y 3 es también una consecuencia del teorema de Cauchy .
El primero mencionado es {(), (RGB), (RBG)}, el grupo alterno A 3 .
Las clases laterales izquierdas y las clases laterales derechas de A 3 coinciden (como lo hacen para cualquier subgrupo del índice 2) y constan de A 3 y el conjunto de tres intercambios {(RB), (RG), (BG) }.
Las clases laterales izquierdas de {(), (RG)} son:
- {(), (RG)}
- {(RB), (RGB)}
- {(GB), (RBG)}
Las clases laterales derechas de {(RG), ()} son:
- {(RG), ()}
- {(RBG), (RB)}
- {(RGB), (GB)}
Por tanto, A 3 es normal y los otros tres subgrupos no triviales no lo son. El grupo cociente G / A 3 es isomorfo con C 2 .
, un producto semidirecto , donde H es un subgrupo de dos elementos: () y uno de los tres intercambios. Esta descomposición es también una consecuencia (caso particular) del teorema de Schur-Zassenhaus .
En términos de permutaciones, los dos elementos del grupo de G / A 3 son el conjunto de permutaciones pares y el conjunto de permutaciones impares.
Si el grupo original es el generado por una rotación de 120 ° de un plano sobre un punto, y la reflexión con respecto a una línea que pasa por ese punto, entonces el grupo de cociente tiene los dos elementos que pueden describirse como los subconjuntos "simplemente rotan ( o no hacer nada) "y" tomar una imagen reflejada ".
Nótese que para el grupo de simetría de un cuadrado , una permutación desigual de vértices no corresponde a tomar una imagen especular, sino a operaciones no permitidas para rectángulos , es decir, rotación de 90 ° y aplicación de un eje diagonal de reflexión.
Productos semidirectos
es si tanto φ (0) como φ (1) son la identidad. El producto semidirecto es isomorfo al grupo diedro de orden 6 si φ (0) es la identidad y φ (1) es el automorfismo no trivial de C 3 , que invierte los elementos.
Así obtenemos:
- ( norte 1 , 0) * ( norte 2 , h 2 ) = ( norte 1 + norte 2 , h 2 )
- ( norte 1 , 1) * ( norte 2 , h 2 ) = ( norte 1 - norte 2 , 1 + h 2 )
para todo n 1 , n 2 en C 3 y h 2 en C 2 . De manera más concisa,
para todo n 1 , n 2 en C 3 y h 1 , h 2 en C 2 .
En una mesa Cayley:
00 | 10 | 20 | 01 | 11 | 21 | |
---|---|---|---|---|---|---|
00 | 00 | 10 | 20 | 01 | 11 | 21 |
10 | 10 | 20 | 00 | 11 | 21 | 01 |
20 | 20 | 00 | 10 | 21 | 01 | 11 |
01 | 01 | 21 | 11 | 00 | 20 | 10 |
11 | 11 | 01 | 21 | 10 | 00 | 20 |
21 | 21 | 11 | 01 | 20 | 10 | 00 |
Tenga en cuenta que para el segundo dígito esencialmente tenemos una tabla de 2 × 2, con valores iguales de 3 × 3 para cada una de estas 4 celdas. Para el primer dígito, la mitad izquierda de la tabla es la misma que la mitad derecha, pero la mitad superior es diferente de la mitad inferior.
Para el producto directo , la tabla es la misma excepto que los primeros dígitos de la mitad inferior de la tabla son los mismos que los de la mitad superior.
Acción de grupo
Considere D 3 en forma geométrica, como un grupo de simetría de isometrías del plano, y considere la acción de grupo correspondiente en un conjunto de 30 puntos espaciados uniformemente en un círculo, numerados del 0 al 29, con 0 en uno de los ejes de reflexión.
Esta sección ilustra conceptos de acción grupal para este caso.
La acción de G sobre X se llama
- transitivo si para dos x , y en X existe una g en G tal que g · x = y ; Este no es el caso
- fiel (o eficaz ) si para dos g , h diferentes en G existe una x en X tal que g · x ≠ h · x ; este es el caso, porque, a excepción de la identidad, los grupos de simetría no contienen elementos que "no hacen nada"
- libre si para dos g diferentes , h en G y todo x en X tenemos g · x ≠ h · x ; este no es el caso porque hay reflejos
Órbitas y estabilizadores
La órbita de un punto x en X es el conjunto de elementos de X al que los elementos de G pueden mover x . La órbita de x se denota por Gx :
Las órbitas son {0, 10, 20}, {1, 9, 11, 19, 21, 29}, {2, 8, 12, 18, 22, 28}, {3, 7, 13, 17, 23, 27}, {4, 6, 14, 16, 24, 26} y {5, 15, 25}. Los puntos dentro de una órbita son "equivalentes". Si se aplica un grupo de simetría para un patrón, entonces dentro de cada órbita el color es el mismo.
El conjunto de todas las órbitas de X bajo la acción de G se escribe como X / G .
Si Y es un subconjunto de X , escribimos GY para el conjunto { g · y : y ∈ Y y g ∈ G }. Llamamos invariante al subconjunto Y bajo G si GY = Y (que es equivalente a GY ⊆ Y ) . En ese caso, G también opera en Y . El subconjunto Y se llama fijado bajo G si g · y = y para todo g en G y todo y en Y . La unión de, por ejemplo, dos órbitas es invariante bajo G , pero no fija.
Para cada x en X , definimos el subgrupo estabilizador de x (también llamado grupo de isotropía o grupo pequeño ) como el conjunto de todos los elementos en G que fijan x :
Si x es un punto de reflexión (0, 5, 10, 15, 20 o 25) , su estabilizador es el grupo de orden dos que contiene la identidad y la reflexión en x . En otros casos, el estabilizador es el grupo trivial.
Para una x fija en X , considere el mapa de G a X dado por g ↦ g · x . La imagen de este mapa es la órbita de x y la coimage es el conjunto de todas las izquierdas cojunto de G x . El teorema del cociente estándar de la teoría de conjuntos da una biyección natural entre G / G x y Gx . Específicamente, la biyección viene dada por hG x ↦ h · x . Este resultado se conoce como el teorema del estabilizador de órbita . En los dos casos de una órbita pequeña, el estabilizador no es trivial.
Si dos elementos x y Y pertenecen a la misma órbita, entonces sus subgrupos estabilizador, G x y G y , son isomorfos . Más precisamente: si y = g · x , entonces G y = gG x g −1 . En el ejemplo, esto se aplica, por ejemplo, para 5 y 25, ambos puntos de reflexión. La reflexión alrededor de 25 corresponde a una rotación de 10, una reflexión alrededor de 5 y una rotación de -10.
Un resultado estrechamente relacionado con el teorema del estabilizador de órbita es el lema de Burnside :
donde X g es el conjunto de puntos fijados por g . Es decir, el número de órbitas es igual al número medio de puntos fijos por elemento de grupo.
Para la identidad, los 30 puntos son fijos, para las dos rotaciones ninguna y para las tres reflexiones, dos cada una: {0, 15}, {5, 20} y {10, 25}. Por tanto, el promedio es seis, el número de órbitas.
Teoría de la representación
Hasta el isomorfismo, este grupo tiene tres representaciones unitarias complejas irreductibles, que llamaremos (la representación trivial), y , donde el subíndice indica la dimensión. Por su definición como grupo de permutación sobre el conjunto con tres elementos, el grupo tiene una representación enpermutando las entradas del vector, la representación fundamental. Esta representación no es irreductible, ya que se descompone como una suma directa de y . aparece como el subespacio de vectores de la forma y es la representación en su complemento ortogonal, que son vectores de la forma . La representación unidimensional no trivial surge a través de los grupos grading: La acción es la multiplicación por el signo de la permutación del elemento del grupo. Todo grupo finito tiene tal representación ya que es un subgrupo de un grupo cíclico por su acción regular. Contando las dimensiones cuadradas de las representaciones (, el orden del grupo), vemos que estas deben ser todas las representaciones irreductibles. [2]
Una representación lineal irreducible bidimensional produce una representación proyectiva unidimensional (es decir, una acción en la línea proyectiva , una incrustación en el grupo de Möbius PGL (2, C ) ), como transformaciones elípticas . Esto se puede representar mediante matrices con entradas 0 y ± 1 (aquí escritas como transformaciones lineales fraccionarias ), conocidas como grupo anarmónico :
- orden 1:
- orden 2:
- orden 3:
y así desciende a una representación sobre cualquier campo, que es siempre fiel / inyectiva (ya que no hay dos términos que difieran sólo por un signo). Sobre el campo con dos elementos, la línea proyectiva tiene solo 3 puntos, y este es, por lo tanto, el isomorfismo excepcional En la característica 3, esta incrustación estabiliza el punto desde (en característica mayor que 3 estos puntos son distintos y permutados, y son la órbita de la relación cruzada armónica ). Sobre el campo con tres elementos, la línea proyectiva tiene 4 elementos, y dado que PGL (2, 3) es isomorfo al grupo simétrico en 4 elementos, S 4 , la incrustación resultante es igual al estabilizador del punto .
Ver también
- Grupo diedro de orden 8
Referencias
- ^ Kubo, Jisuke (2008), "El grupo diedro como grupo familiar", Teoría del campo cuántico y más allá , World Sci. Publ., Hackensack, Nueva Jersey, págs. 46–63, doi : 10.1142 / 9789812833556_0004 , MR 2588575. Para la identificación de D 3 con S 3 , y la observación de que este grupo es el grupo no abeliano más pequeño posible, ver p. 49 .
- ^ 3 "> Weisstein, Eric W. "Grupo diedro D 3 " . MathWorld .
- Fraleigh, John B. (1993), Un primer curso de álgebra abstracta (5ª ed.), Addison-Wesley, págs. 93–94, ISBN 978-0-201-53467-2
enlaces externos
- http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroupD3.html