En matemáticas , un operador no local es un mapeo que mapea funciones en un espacio topológico a funciones, de tal manera que el valor de la función de salida en un punto dado no se puede determinar únicamente a partir de los valores de la función de entrada en cualquier vecindario de cualquier punto. Un ejemplo de un operador no local es la transformada de Fourier .
Definicion formal
Dejar ser un espacio topológico ,un conjunto ,un espacio funcional que contiene funciones con dominio , y un espacio funcional que contiene funciones con dominio . Dos funciones y en se llaman equivalentes en si existe un barrio de tal que para todos . Un operador se dice que es local si para cada existe un tal que para todas las funciones y en que son equivalentes en . Un operador no local es un operador que no es local.
Para un operador local es posible (en principio) calcular el valor utilizando solo el conocimiento de los valores de en un vecindario arbitrariamente pequeño de un punto . Para un operador no local, esto no es posible.
Ejemplos de
Los operadores diferenciales son ejemplos de operadores locales. Las transformadas integrales , como la transformada de Fourier y la transformada de Laplace, dan una gran clase de operadores no locales (lineales) . Para una transformación integral de la forma
dónde es alguna función del kernel, es necesario conocer los valores de casi en todas partes con el apoyo de para calcular el valor de a .
Un ejemplo de un operador integral singular es el laplaciano fraccionario
El prefactor Implica la función Gamma y sirve como factor de normalización. El laplaciano fraccional juega un papel en, por ejemplo, el estudio de superficies mínimas no locales . [1]
Aplicaciones
Algunos ejemplos de aplicaciones de operadores no locales son:
- Análisis de series de tiempo usando transformaciones de Fourier
- Análisis de sistemas dinámicos mediante transformaciones de Laplace
- Eliminación de ruido de imágenes mediante medios no locales [2]
- Modelado de desenfoque gaussiano o desenfoque de movimiento en imágenes mediante convolución con un kernel de desenfoque o función de dispersión de puntos
Ver también
Referencias
- ^ Caffarelli, L .; Roquejoffre, J.-M .; Savin, O. (2010). "Superficies mínimas no locales". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada : n / a. arXiv : 0905.1183 . doi : 10.1002 / cpa.20331 .
- ^ Buades, A .; Coll, B .; Morel, J.-M. (2005). Un algoritmo no local para la eliminación de ruido de imágenes . 2005 IEEE Computer Society Conference sobre visión por ordenador y reconocimiento de patrones (CVPR'05) . 2 . San Diego, CA, EE.UU .: IEEE. págs. 60–65. doi : 10.1109 / CVPR.2005.38 . ISBN 9780769523729.