Norma (matemáticas)
En matemáticas , una norma es una función de un espacio vectorial real o complejo a los números reales no negativos que se comporta de cierta manera como la distancia desde el origen : conmuta con escala, obedece a una forma de desigualdad triangular y es cero solo en el origen. En particular, la distancia euclidiana de un vector desde el origen es una norma, llamada norma euclidiana , o 2-norma , que también puede definirse como la raíz cuadrada del producto interno de un vector consigo mismo.
Una pseudonorma o seminorma satisface las dos primeras propiedades de una norma, pero puede ser cero para vectores distintos del origen. [1] Un espacio vectorial con una norma específica se denomina espacio vectorial normado . De manera similar, un espacio vectorial con una seminorma se denomina espacio vectorial seminormado .
Dado un espacio vectorial sobre un subcampo F de los números complejos, una norma es una función de valor real con las siguientes propiedades, donde denota el valor absoluto habitual de un escalar : [2]
Una seminorma on es una función que tiene las propiedades (1) y (2) [3] de modo que, en particular, toda norma es también una seminorma (y por lo tanto también un funcional sublineal ). Sin embargo, existen seminormas que no son normas. Las propiedades (1) y (2) implican que si es una norma (o más generalmente, una seminorma) entonces y que también tiene la siguiente propiedad:
Algunos autores incluyen la no negatividad como parte de la definición de "norma", aunque esto no es necesario.
Supongamos que p y q son dos normas (o seminormas) en un espacio vectorial Entonces p y q se llaman equivalentes , si existen dos constantes reales c y C con c > 0 tales que para todo vector
