Espacio vectorial normado

En matemáticas , un espacio vectorial normado o espacio normado es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos , sobre el que se define una norma . ^[1] Una norma es la formalización y la generalización a espacios vectoriales reales de la noción intuitiva de "longitud" en el mundo real. Una norma es una función de valor real definida en el espacio vectorial que se denota comúnmente y tiene las siguientes propiedades: ^[2]${\ Displaystyle x \ mapsto \ | x \ |,}$

Un espacio de producto interno es un espacio vectorial normalizado cuya norma es la raíz cuadrada del producto interno de un vector y él mismo. La norma euclidiana de un espacio vectorial euclidiano es un caso especial que permite definir la distancia euclidiana mediante la fórmula

El estudio de espacios normativos y espacios de Banach es una parte fundamental del análisis funcional , que es un subcampo importante de las matemáticas.

Un espacio vectorial normalizado es un espacio vectorial equipado con una norma . AEl espacio vectorial seminormado es un espacio vectorial equipado con unaseminorma.

La propiedad 3 depende de la elección de la norma en el campo de los escalares. Cuando el campo escalar es (o más generalmente un subconjunto de ), generalmente se toma como el valor absoluto ordinario , pero son posibles otras opciones. Por ejemplo, para un espacio vectorial sobre uno se podría considerar la norma -ádica .${\ Displaystyle | \ alpha |}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle | \ alpha |}$${\ Displaystyle p}$

Si es un espacio vectorial normado, la norma induce una métrica (una noción de distancia ) y por lo tanto una topología en Esta métrica se define de forma natural: la distancia entre dos vectores y está dada por Esta topología es precisamente la topología más débil que hace continua y que sea compatible con la estructura lineal de en el siguiente sentido:${\ Displaystyle (V, \ | \, \ cdot \, \ |)}$${\ Displaystyle \ | \, \ cdot \, \ |}$${\ Displaystyle V.}$${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ | \ mathbf {u} - \ mathbf {v} \ |.}$${\ Displaystyle \ | \, \ cdot \, \ |}$${\ Displaystyle V}$

Jerarquía de espacios matemáticos. Los espacios vectoriales normativos son un superconjunto de espacios de productos internos y un subconjunto de espacios métricos , que a su vez es un subconjunto de espacios topológicos .