La ecuación de convección-difusión describe el flujo de calor, partículas u otras cantidades físicas en situaciones donde hay tanto difusión como convección o advección . Para obtener información sobre la ecuación, su derivación y su importancia conceptual y sus consecuencias, consulte el artículo principal ecuación de convección-difusión . Este artículo describe cómo usar una computadora para calcular una solución numérica aproximada de la ecuación discretizada, en una situación dependiente del tiempo.
Para ser concreto, este artículo se centra en el flujo de calor , un ejemplo importante donde se aplica la ecuación de convección-difusión. Sin embargo, el mismo análisis matemático funciona igualmente bien en otras situaciones como el flujo de partículas.
Se necesita una formulación general de elementos finitos discontinuos . [1] Se considera el problema de convección-difusión inestable, al principio la temperatura conocida T se expande en una serie de Taylor con respecto al tiempo teniendo en cuenta sus tres componentes. A continuación, utilizando la ecuación de difusión por convección se obtiene una ecuación a partir de la diferenciación de esta ecuación.
Ecuación
General
La siguiente ecuación de difusión por convección se considera aquí [2]
En la ecuación anterior, cuatro términos representan transitoriedad , convección , difusión y un término fuente respectivamente, donde
- T es la temperatura en el caso particular de la transferencia de calor, de lo contrario, es la variable de interés
- t es el tiempo
- c es el calor específico
- u es la velocidad
- ε es la porosidad que es la relación entre el volumen de líquido y el volumen total
- ρ es la densidad de masa
- λ es conductividad térmica
- Q ( x , t ) es el término fuente que representa la capacidad de las fuentes internas
La ecuación anterior se puede escribir en la forma
donde a =λ/cρ es el coeficiente de difusión.
Resolver la ecuación de convección-difusión utilizando el método de diferencias finitas
Una solución de la ecuación transitoria de convección-difusión se puede aproximar mediante un enfoque de diferencias finitas , conocido como método de diferencias finitas (FDM).
Esquema explícito
Se ha considerado un esquema explícito de FDM y se han formulado criterios de estabilidad. En este esquema, la temperatura depende totalmente de la temperatura anterior (las condiciones iniciales) y θ , un parámetro de ponderación entre 0 y 1. La sustitución de θ = 0 da la discretización explícita de la ecuación de transferencia de calor por conducción inestable.
dónde
- Δ t = t f - t f - 1
- h es el espaciado uniforme de la cuadrícula (paso de malla)
Criterios de estabilidad
Estas desigualdades establecen un límite máximo estricto para el tamaño del paso de tiempo y representan una seria limitación para el esquema explícito. Este método no se recomienda para problemas transitorios generales porque el paso de tiempo máximo posible debe reducirse al cuadrado de h .
Esquema implícito
En el esquema implícito, la temperatura depende del nuevo nivel de tiempo t + Δ t . Después de utilizar el esquema implícito, se encontró que todos los coeficientes son positivos. Hace que el esquema implícito sea incondicionalmente estable para cualquier tamaño de paso de tiempo. Este esquema se prefiere para cálculos transitorios de propósito general debido a su robustez y estabilidad incondicional. [3] La desventaja de este método es que se involucran más procedimientos y debido a un Δ t mayor , el error de truncamiento también es mayor.
Esquema Crank-Nicolson
En el método de Crank-Nicolson , la temperatura depende igualmente de t y t + Δ t . Es un método de segundo orden en el tiempo y este método se utiliza generalmente en problemas de difusión .
Criterios de estabilidad
Esta limitación de paso de tiempo es menos restringida que el método explícito . El método Crank-Nicolson se basa en la diferenciación central y, por lo tanto, tiene una precisión de segundo orden en el tiempo. [4]
Solución de elementos finitos al problema de convección-difusión
A diferencia de la ecuación de conducción (se usa una solución de elementos finitos), una solución numérica para la ecuación de convección-difusión tiene que lidiar con la parte de convección de la ecuación gobernante además de la difusión. Cuando el número de Péclet (Pe) excede un valor crítico, las oscilaciones espúreas dan como resultado el espacio y este problema no es exclusivo de los elementos finitos, ya que todas las demás técnicas de discretización tienen las mismas dificultades. En una formulación de diferencias finitas, las oscilaciones espaciales se reducen mediante una familia de esquemas de discretización como el esquema de ceñida . [5] En este método, la función de forma básica se modifica para obtener el efecto de contracorriente. Este método es una extensión de Runge-Kutta discontinuo para una ecuación de difusión por convección. Para las ecuaciones dependientes del tiempo, se sigue un enfoque diferente. El esquema de diferencias finitas tiene un equivalente en el método de elementos finitos ( método de Galerkin ). Otro método similar es el método característico de Galerkin (que utiliza un algoritmo implícito). Para las variables escalares, los dos métodos anteriores son idénticos.
Ver también
Referencias
- ^ "Finito discontinuo en dinámica de fluidos y transferencia de calor " por Ben Q. Li, 2006.
- ^ "El método de diferencia finita para la difusión por convección transitoria", Ewa Majchrzak & Łukasz Turchan, 2012.
- ^ H.Versteeg & W. Malalasekra, "Introducción a la dinámica de fluidos computacional " 2009, páginas 262-263.
- ^ H.Versteeg & W. Malalasekra, "Introducción a la dinámica de fluidos computacional " 2009, página no. 262.
- ^ Ronald W. Lewis, Perumal Nithiarasu y Kankanhally N. Seetharamu, "Fundamentos del método de elementos finitos para el flujo de calor y fluidos".