En topología , una rama de las matemáticas, una topología de extensión es una topología colocada en la unión disjunta de un espacio topológico y otro conjunto . Hay varios tipos de topología de extensión, que se describen en las secciones siguientes.
Topología de extensión
Deje X un espacio topológico y P un disjuntos conjunto de X . Considere en X ∪ P la topología cuyos conjuntos abierto son de la forma A ∪ Q , en donde A es un conjunto abierto de X y Q es un subconjunto de P .
Los conjuntos cerrados de X ∪ P son de la forma B ∪ Q , en donde B es un conjunto cerrado de X y Q es un subconjunto de P .
Por estas razones esta topología se llama la topología de extensión de X plus P , con la que uno se extiende a X ∪ P la abierta y los conjuntos cerrados de X . Como subconjuntos de X ∪ P, la topología subespacial de X es la topología original de X , mientras que la topología subespacial de P es la topología discreta . Como un espacio topológico, X ∪ P es homeomorfo a la suma topológica de X y P , y X es un subconjunto abierto y cerrado de X ∪ P .
Si Y es un espacio topológico y R es un subconjunto de Y , uno podría preguntarse si la topología de extensión de Y - R más R es la misma que la topología original de Y , y la respuesta es, en general, no.
Nótese la similitud de esta construcción de topología de extensión y la compactación de un punto de Alexandroff , en cuyo caso, teniendo un espacio topológico X que se desea compactar agregando un punto ∞ en el infinito, se consideran los conjuntos cerrados de X ∪ {∞} a ser los conjuntos de la forma K , donde K es un conjunto compacto cerrado de X , o B ∪ {∞}, donde B es un conjunto cerrado de X .
Topología de extensión abierta
Deje X un espacio topológico y P un disjuntos conjunto de X . Considere en X ∪ P la topología cuyos conjuntos abierto son de la forma X ∪ Q , donde Q es un subconjunto de P , o A , donde A es un conjunto abierto de X .
Por esta razón esta topología se llama la topología de extensión abierto de X plus P , con la que uno se extiende a X ∪ P los conjuntos abiertos de X . Como subconjuntos de X ∪ P, la topología subespacial de X es la topología original de X , mientras que la topología subespacial de P es la topología discreta.
Los conjuntos cerrados en X ∪ P son de la forma: Q , donde Q es un subconjunto de P , o B ∪ P , donde B es una conjunto cerrado de X . Tenga en cuenta que P es cerrado en X ∪ P y X es abierto y denso en X ∪ P .
Si Y es un espacio topológico y R es un subconjunto de Y , uno podría preguntarse si la topología de extensión abierta de Y - R más R es la misma que la topología original de Y , y la respuesta es, en general, no.
Tenga en cuenta que la topología de extensión abierto de X ∪ P es menor que la topología de extensión de X ∪ P .
Suponiendo que X y P no están vacíos para evitar trivialidades, aquí hay algunas propiedades generales de la topología de extensión abierta: [1]
- X es denso en X ∪ P .
- Si P es finito, X ∪ P es compacto . Entonces X ∪ P es una compactificación de X en ese caso.
- X ∪ P está conectado .
- Si P tiene un solo punto, X ∪ P está ultraconectado .
Para un conjunto Z y un punto p en Z , se obtiene la construcción de topología de puntos excluidos considerando en Z la topología discreta y aplicando la construcción de topología de extensión abierta a Z - { p } más p .
Topología de extensión cerrada
Deje X un espacio topológico y P un disjuntos conjunto de X . Considere en X ∪ P la topología cuyos conjuntos cerrados son de la forma X ∪ Q , donde Q es un subconjunto de P , o B , donde B es un conjunto cerrado de X .
Por esta razón esta topología se llama la topología de extensión cerrada de X plus P , con la que uno se extiende a X ∪ P los conjuntos cerrados de X . Como subconjuntos de X ∪ P, la topología subespacial de X es la topología original de X , mientras que la topología subespacial de P es la topología discreta.
Los conjuntos abiertos de X ∪ P son de la forma Q , donde Q es un subconjunto de P , o A ∪ P , donde A es un conjunto abierto de X . Obsérvese que P está abierto en X ∪ P y X es cerrado en X ∪ P .
Si Y es un espacio topológico y R es un subconjunto de Y , uno podría preguntarse si la topología de extensión cerrada de Y - R más R es la misma que la topología original de Y , y la respuesta es, en general, no.
Observe que la topología de extensión cerrada de X ∪ P es menor que la topología de extensión de X ∪ P .
Para un conjunto Z y un punto p en Z , se obtiene la construcción de la topología de puntos particular considerando en Z la topología discreta y aplicando la construcción de la topología de extensión cerrada a Z - { p } más p .
Notas
- ^ Steen y Seebach 1995 , p. 48.
Trabajos citados
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr (1995) [Publicado por primera vez en 1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446