Espectro (análisis funcional)

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , el espectro de un operador lineal acotado (o, más generalmente, un operador lineal ilimitado ) es una generalización del conjunto de valores propios de una matriz . Específicamente, se dice que un número complejo λ está en el espectro de un operador lineal acotado T si no es invertible , donde I es el operador de identidad . El estudio de espectros y propiedades relacionadas se conoce como teoría espectral , que tiene numerosas aplicaciones, entre las que destaca la ${\ Displaystyle T- \ lambda I}$ formulación matemática de la mecánica cuántica .

El espectro de un operador en un espacio vectorial de dimensión finita es precisamente el conjunto de valores propios. Sin embargo, un operador en un espacio de dimensión infinita puede tener elementos adicionales en su espectro y puede no tener valores propios. Por ejemplo, considere el operador de desplazamiento derecho R en el espacio de Hilbert ℓ ² ,

Esto no tiene valores propios, ya que si Rx = λx entonces al expandir esta expresión vemos que x ₁ = 0, x ₂ = 0, etc. Por otro lado, 0 está en el espectro porque el operador R - 0 (es decir, R mismo ) no es invertible: no es sobreyectiva ya que cualquier vector con un primer componente distinto de cero no está en su rango. De hecho, todo operador lineal acotado en un espacio de Banach complejo debe tener un espectro no vacío.

La noción de espectro se extiende a los operadores ilimitados (es decir, no necesariamente delimitados). Se dice que un número complejo λ está en el espectro de un operador ilimitado definido en el dominio si no hay un inverso acotado definido en el conjunto de Si T es cerrado (que incluye el caso en el que T está acotado), la acotación de se sigue automáticamente de su existencia. ${\ Displaystyle T: \, X \ a X}$ ${\ Displaystyle D (T) \ subseteq X}$ ${\ Displaystyle (T- \ lambda I) ^ {- 1}: \, X \ to D (T)}$ ${\ Displaystyle X.}$ ${\ Displaystyle (T- \ lambda I) ^ {- 1}}$

El espacio de operadores lineales acotados B ( X ) en un espacio de Banach X es un ejemplo de un álgebra de Banach unital . Dado que la definición del espectro no menciona ninguna propiedad de B ( X ) excepto aquellas que tiene cualquier álgebra, la noción de espectro puede generalizarse a este contexto usando la misma definición literalmente.

Sea un operador lineal acotado que actúa en un espacio de Banach sobre el campo escalar complejo , y sea el operador de identidad en . El espectro de es el conjunto de todos para los que el operador no tiene un inverso que sea un operador lineal acotado. ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle T- \ lambda I}$