En matemáticas , la media esférica de una función alrededor de un punto es el promedio de todos los valores de esa función en una esfera de radio dado centrada en ese punto.
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Definición
Considere un conjunto abierto U en el espacio euclidiano R n y una función continua u definida en U con valores reales o complejos . Deje x ser un punto en U y r > 0 ser tal que la cerrada balón B ( x , r ) del centro de la x y el radio r está contenida en U . La media esférica sobre la esfera de radio r centrada en x se define como
donde ∂ B ( x , r ) es la ( n - 1) -esfera que forma el límite de B ( x , r ), d S denota integración con respecto a la medida esférica y ω n −1 ( r ) es el "área de superficie "de esta ( n - 1) -esfera.
De manera equivalente, la media esférica está dada por
donde ω n −1 es el área de la ( n - 1) -esfera de radio 1.
La media esférica a menudo se denota como
La media esférica también se define para las variedades de Riemann de forma natural.
Propiedades y usos
- De la continuidad de de ello se deduce que la función
- es continuo, y que su límite como es
- Se pueden usar medios esféricos para resolver el problema de Cauchy para la ecuación de onda en una dimensión espacial impar. El resultado, conocido como fórmula de Kirchoff, se obtiene utilizando medios esféricos para reducir la ecuación de onda en (por extraño ) a la ecuación de onda en , y luego usando la fórmula de d'Alembert . La expresión en sí se presenta en el artículo sobre ecuaciones de onda .
- Si es un set abierto en y es una función C 2 definida en, luego es armónico si y solo si para todos en y todo tal que la bola cerrada está contenido en uno tiene
- Este resultado se puede utilizar para probar el principio máximo para funciones armónicas.
Referencias
- Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-0772-9.
- Sabelfeld, KK; Shalimova, IA (1997). Medios esféricos para PDE . VSP. ISBN 978-90-6764-211-8.
- Sunada, Toshikazu (1981). "Medios esféricos y cadenas geodésicas en una variedad riemanniana". Trans. Soy. Matemáticas. Soc . 267 : 483–501.
enlaces externos
- Media esférica en PlanetMath .