En la teoría de órdenes , una rama de las matemáticas , una incrustación de órdenes es un tipo especial de función monótona , que proporciona una forma de incluir un conjunto parcialmente ordenado en otro. Al igual que las conexiones de Galois , las incrustaciones de orden constituyen una noción estrictamente más débil que el concepto de isomorfismo de orden . Ambos de estos debilitamientos pueden entenderse en términos de teoría de categorías .
Definicion formal
Formalmente, dados dos conjuntos parcialmente ordenados (posets) y , una función es una orden incrustada sies a la vez el fin de preservación y orden reflectante , es decir, para todos y en , uno tiene
Tal función es necesariamente inyectiva , ya que implica y . [1] Si un pedido se inserta entre dos publicaciones y existe, uno dice que se puede incrustar en .
Propiedades
Un isomorfismo de orden se puede caracterizar como una incrustación de orden sobreyectiva . Como consecuencia, cualquier orden que incrusta f se restringe a un isomorfismo entre su dominio S y su imagen f ( S ), lo que justifica el término "incrustación". [1] Por otro lado, bien podría ser que dos posets (necesariamente infinitos) sean mutuamente incrustables entre sí sin ser orden-isomorfos.
Un ejemplo lo proporciona el intervalo abierto de números reales y el intervalo cerrado correspondiente . La funciónasigna el primero al subconjunto de este último y el último al subconjunto del primero, ver foto. Ordenar ambos juegos de forma natural,es tanto conservador como reflector del orden (porque es una función afín ). Sin embargo, no puede existir ningún isomorfismo entre los dos posets, ya que, por ejemplo,tiene un elemento mínimo mientrasno es. Para un ejemplo similar usando arctan para ordenar los números reales en un intervalo, y el mapa de identidad para la dirección inversa, ver, por ejemplo, Just y Weese (1996). [2]
Una retractación es un par de mapas que conservan el orden cuya composición es la identidad. En este caso,se denomina coretracción y debe ser una incrustación de orden. [3] Sin embargo, no todas las incrustaciones de pedidos son una coretracción. Como ejemplo trivial, la incrustación de orden única de la poset vacía a una poset no vacía no tiene retracción, porque no hay un mapa que conserve el orden . Más ilustrativamente, considere el conjuntode divisores de 6, parcialmente ordenados por x divide y , ver imagen. Considere el subconjunto incrustado. Un retracto de la incrustación necesitaría enviar a algún lugar en por encima de ambos y , pero no existe tal lugar.
Perspectivas adicionales
Los Posets se pueden ver directamente desde muchas perspectivas, y las incrustaciones de pedidos son lo suficientemente básicas como para que tienden a ser visibles desde todas partes. Por ejemplo:
- ( Modelo teórico ) Un poset es un conjunto equipado con una relación binaria (reflexiva, antisimétrica y transitiva) . Una orden incrustación A → B es un isomorfismo de A a una subestructura primaria de B .
- ( Graph teóricamente ) A poset es un (transitivo, acíclico, dirigida reflexiva,) gráfico . Una orden incrustación A → B es un isomorfismo gráfico de A a un subgrafo inducido de B .
- ( Categoría teóricamente ) A poset es un (pequeño, delgado y esquelético) categoría tal que cada homset tiene a lo sumo un elemento. Una orden incrustación A → B es una completa y fiel funtor de A a B que es inyectiva en objetos, o equivalentemente un isomorfismo de A a una subcategoría completa de B .
Ver también
Referencias
- ^ a b c Davey, BA; Priestley, HA (2002), "Mapas entre conjuntos ordenados" , Introducción a Lattices and Order (2ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, págs. 23-24, ISBN 0-521-78451-4, MR 1902334.
- ^ Solo, Winfried; Weese, Martin (1996), Discovering Modern Set Theory: The basics , Fields Institute Monographs, 8 , American Mathematical Society, p. 21, ISBN 9780821872475
- ^ Duffus, Dwight; Laflamme, Claude; Pouzet, Maurice (2008), "Retracts of posets: the chain-gap property and the selection property are independent", Algebra Universalis , 59 (1-2): 243-255, arXiv : math / 0612458 , doi : 10.1007 / s00012 -008-2125-6 , MR 2.453.498 , S2CID 14259820.