Espacio Orlicz

En el análisis matemático , y especialmente en el análisis real y armónico , un espacio de Orlicz es un tipo de espacio funcional que generaliza los espacios L ^p . Al igual que los espacios L ^p , son espacios de Banach . Los espacios llevan el nombre de Władysław Orlicz , quien fue el primero en definirlos en 1932.

Además de los espacios L ^p , una variedad de espacios funcionales que surgen naturalmente en el análisis son los espacios Orlicz. Uno de esos espacios L  log ⁺  L , que surge en el estudio de las funciones máximas de Hardy-Littlewood , consiste en funciones medibles f tales que la integral

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\log ^{+}|f(x)|\,dx<\infty .}$

Aquí log ⁺ es la parte positiva del logaritmo. También se incluyen en la clase de espacios Orlicz muchos de los espacios Sobolev más importantes .

Terminología

Estos espacios son llamados espacios de Orlicz por una abrumadora mayoría de matemáticos y por todas las monografías que los estudian, porque Władysław Orlicz fue el primero en introducirlos, en 1932. ^[1] Una pequeña minoría de matemáticos, incluidos Wojbor Woyczyński, Edwin Hewitt y Vladimir Mazya - incluir también el nombre de Zygmunt Birnbaum , en referencia a su anterior trabajo conjunto con Władysław Orlicz. Sin embargo, en el artículo de Birnbaum-Orlicz no se introduce el espacio de Orlicz, ni explícita ni implícitamente, por lo que esta convención de nomenclatura es incorrecta. Por las mismas razones esta convención ha sido también abiertamente criticada por otro matemático (y experto en la historia de los espacios de Orlicz), Lech Maligranda. ^[2] Orlicz fue confirmado como la persona que introdujo los espacios de Orlicz ya por Stefan Banach en su monografía de 1932. ^[3]

Definición formal

Suponga que μ es una medida σ-finita en un conjunto X , y Φ: [0, ∞) → [0, ∞) es una función de Young , es decir, una función convexa tal que

${\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{x}}\to \infty ,\quad {\text{as }}x\to \infty ,}$

${\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{x}}\to 0,\quad {\text{as }}x\to 0.}$

Sea el conjunto de funciones medibles f  : X → R tales que la integral${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$

${\displaystyle \int _{X}\Phi (|f|)\,d\mu }$

es finito, donde, como es habitual, se identifican funciones que coinciden en casi todas partes .

Esto podría no ser un espacio vectorial (es decir, se podría dejar de ser cerrado bajo la multiplicación escalar). El espacio vectorial de funciones abarcadas por es el espacio de Orlicz, denotado .${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$${\displaystyle L_{\Phi }}$

Para definir una norma , sea Ψ el complemento de Young de Φ; eso es,${\displaystyle L_{\Phi }}$

${\displaystyle \Psi (x)=\int _{0}^{x}(\Phi ')^{-1}(t)\,dt.}$

Tenga en cuenta que la desigualdad de Young para los productos se mantiene:

${\displaystyle ab\leq \Phi (a)+\Psi (b).}$

La norma viene dada por

${\displaystyle \|f\|_{\Phi }=\sup \left\{\|fg\|_{1}\mid \int \Psi \circ |g|\,d\mu \leq 1\right\}.}$

Además, el espacio es precisamente el espacio de funciones mensurables para las que esta norma es finita.${\displaystyle L_{\Phi }}$

Una norma equivalente ( Rao & Ren 1991 , §3.3), llamada norma de Luxemburgo, se define en L _Φ por

${\displaystyle \|f\|'_{\Phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \int _{X}\Phi (|f|/k)\,d\mu \leq 1\right\},}$

e igualmente L _Φ (μ) es el espacio de todas las funciones medibles para las que esta norma es finita.

Ejemplo

Aquí hay un ejemplo donde no es un espacio vectorial y es estrictamente más pequeño que . Suponga que X es el intervalo unitario abierto (0,1), Φ ( x ) = exp ( x ) - 1 -  x , yf ( x ) = log ( x ). Entonces af está en el espacio pero solo está en el conjunto si | a | <1.${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$${\displaystyle L_{\Phi }}$${\displaystyle L_{\Phi }}$${\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }}$

Propiedades

• Los espacios de Orlicz generalizan L ^p espacios (para ) en el sentido de que si , entonces , entonces .${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle \varphi (t)=t^{p}}$${\displaystyle \|u\|_{L^{\varphi }(X)}=\|u\|_{L^{p}(X)}}$${\displaystyle L^{\varphi }(X)=L^{p}(X)}$
• El espacio de Orlicz es un espacio de Banach , un espacio vectorial normalizado completo .${\displaystyle L^{\varphi }(X)}$

Relaciones con los espacios de Sobolev

Ciertos espacios de Sobolev están incrustados en espacios de Orlicz: para abiertos y delimitados con límite de Lipschitz ,${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial X}$

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(X)\subseteq L^{\varphi }(X)}$

por

${\displaystyle \varphi (t):=\exp \left(|t|^{p/(p-1)}\right)-1.}$

Este es el contenido analítico de la desigualdad Trudinger : Para abierta y limitada con Lipschitz límite , tenga en cuenta el espacio , . Existen constantes tales que${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \partial X}$${\displaystyle W_{0}^{k,p}(X)}$${\displaystyle kp=n}$${\displaystyle C_{1},C_{2}>0}$

${\displaystyle \int _{X}\exp \left(\left({\frac {|u(x)|}{C_{1}\|\mathrm {D} ^{k}u\|_{L^{p}(X)}}}\right)^{p/(p-1)}\right)\,\mathrm {d} x\leq C_{2}|X|.}$

Norma de Orlicz de una variable aleatoria

Asimismo, la norma de Orlicz de una variable aleatoria la caracteriza de la siguiente manera:

${\displaystyle \|X\|_{\Psi }\triangleq \inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \operatorname {E} [\Psi (|X|/k)]\leq 1\right\}.}$

Esta norma es homogénea y se define solo cuando este conjunto no está vacío.

Cuando , esto coincide con el p -ésimo momento de la variable aleatoria. Se toman otros casos especiales en la familia exponencial con respecto a las funciones (para ). Una variable aleatoria con norma finita se dice que es " subgaussiana " y una variable aleatoria con norma finita se dice que es "sub-exponencial". De hecho, la delimitación de la norma caracteriza el comportamiento limitante de la función de densidad de probabilidad:${\displaystyle \Psi (x)=x^{p}}$${\displaystyle \Psi _{q}(x)=\exp(x^{q})-1}$${\displaystyle q\geq 1}$${\displaystyle \Psi _{2}}$${\displaystyle \Psi _{1}}$${\displaystyle \Psi _{p}}$

${\displaystyle \|X\|_{\Psi _{p}}=c\rightarrow \lim _{x\rightarrow \infty }f_{X}(x)\exp(|x/c|^{p})=0,}$

de modo que la cola de esta función de densidad de probabilidad se asemeja asintóticamente y está delimitada por encima de .${\displaystyle \exp(-|x/c|^{p})}$

La norma puede calcularse fácilmente a partir de una función generadora de momentos estrictamente monótona . Por ejemplo, la función generadora de momentos de una variable aleatoria de chi-cuadrado X con K grados de libertad es , de modo que el recíproco de la norma está relacionado con el inverso funcional de la función generadora de momentos:${\displaystyle \Psi _{1}}$${\displaystyle M_{X}(t)=(1-2t)^{-K/2}}$${\displaystyle \Psi _{1}}$

${\displaystyle \|X\|_{\Psi _{1}}^{-1}=M_{X}^{-1}(2)=(1-4^{-1/K})/2.}$

Referencias

1. Über eine gewisse Klasse von Räumen vom Typus B, Bull. Internat. Acad. Polon. Sci. Lett., Clase. Sci. Matemáticas. Natur .: S \ '{e} r. A, Sci. Matemáticas. 1932: 9/8, 207--220.
2. Lech Maligranda, Osiągnięcia polskich matematyków w teorii interpolacji operatorów: 1910-1960 , 2015, „Wiadomości matematyczne”, 51, 239-281 (en polaco).
3. Stefan Banach, 1932, Théorie des opérations linéaires, Warszawa (p.202)

Lectura adicional

• Birnbaum, ZW; Orlicz, W. (1931), "Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander Konjugierten Potenzen", Studia Mathematica , 3 : 1-67 PDF .
• Bund, Iracema (1975), "Espacios de funciones de Birnbaum-Orlicz en grupos", Pacific Mathematics Journal , 58 (2): 351–359.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl, Análisis real y abstracto , Springer-Verlag.
• Krasnosel'skii, MA ; Rutickii, Ya.B. (1961), Funciones convexas y espacios Orlicz , Groningen: P. Noordhoff Ltd
• Rao, MM; Ren, ZD (1991), Teoría de los espacios de Orlicz , Matemáticas puras y aplicadas, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-8478-2.
• Zygmund, Antoni , "Capítulo IV: Clases de funciones y series de Fourier", Serie trigonométrica, Volumen 1 (3ª ed.), Cambridge University Press.
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel, probabilidad en espacios de Banach , Springer-Verlag.

Enlaces externos

• "Espacio Orlicz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]