En matemáticas, una trayectoria ortogonal es una curva que interseca cualquier curva de un lápiz dado de curvas (planas) ortogonalmente .
Por ejemplo, las trayectorias ortogonales de un lápiz de círculos concéntricos son las líneas que pasan por su centro común (ver diagrama).
Se proporcionan métodos adecuados para la determinación de trayectorias ortogonales resolviendo ecuaciones diferenciales . El método estándar establece una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y la resuelve mediante separación de variables . Ambos pasos pueden resultar difíciles o incluso imposibles. En tales casos, hay que aplicar métodos numéricos.
Las trayectorias ortogonales se utilizan en matemáticas, por ejemplo, como sistemas de coordenadas curvas (es decir, coordenadas elípticas ) o aparecen en física como campos eléctricos y sus curvas equipotenciales .
Si la trayectoria interseca las curvas dadas por un ángulo arbitrario (pero fijo), se obtiene una trayectoria isogonal .
Determinación de la trayectoria ortogonal
En coordenadas cartesianas
Generalmente se supone que el lápiz de curvas está implícitamente dado por una ecuación
- (0) 1. ejemplo 2. ejemplo
dónde es el parámetro del lápiz. Si el lápiz viene dado explícitamente por una ecuación, se puede cambiar la representación por una implícita: . Para la consideración a continuación, se supone que existen todas las derivadas necesarias.
- Paso 1.
Diferenciar implícitamente para rendimientos
- (1) en 1. ejemplo 2. ejemplo
- Paso 2.
Ahora se supone que la ecuación (0) se puede resolver para el parámetro , que por tanto puede eliminarse de la ecuación (1). Se obtiene la ecuación diferencial de primer orden
- (2) en 1. ejemplo 2. ejemplo
que se cumple con el lápiz dado de curvas.
- Paso 3.
Porque la pendiente de la trayectoria ortogonal en un punto es el inverso multiplicativo negativo de la pendiente de la curva dada en este punto, la trayectoria ortogonal satisface la ecuación diferencial de primer orden
- (3) en 1. ejemplo 2. ejemplo
- Paso 4.
Esta ecuación diferencial se puede resolver (con suerte) mediante un método adecuado.
Para ambos ejemplos es adecuada la separación de variables . Las soluciones son:
en el ejemplo 1, las líneasy
en el ejemplo 2, las elipses
En coordenadas polares
Si el lápiz de curvas está representado implícitamente en coordenadas polares por
- (0p)
se determina, al igual que el caso cartesiano, el parámetro ecuación diferencial libre
- (1p)
- (2p)
del lápiz. La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es entonces (ver Redheffer & Port p. 65, Heuser, p. 120)
- (3p)
Ejemplo: cardioides :
- (0p) (en el diagrama: azul)
- (1p)
Eliminación de produce la ecuación diferencial del lápiz dado:
- (2p)
Por tanto, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es:
- (3p)
Después de resolver esta ecuación diferencial por separación de variables se obtiene
que describe el lápiz de cardioides (rojo en el diagrama), simétrico al lápiz dado.
Trayectoria isogonal
Una curva, que interseca cualquier curva de un lápiz dado de curvas (planas) en un ángulo fijo. se llama trayectoria isogonal .
Entre la pendiente de una trayectoria isogonal y la pendiente de la curva del lápiz en un punto se cumple la siguiente relación:
Esta relación se debe a la fórmula para . Parase obtiene la condición de la trayectoria ortogonal .
Para la determinación de la trayectoria isogonal se debe ajustar el paso 3. de la instrucción anterior:
- 3. paso (isog. Traj.)
La ecuación diferencial de la trayectoria isogonal es:
- (3i)
Para el 1. ejemplo (círculos concéntricos) y el ángulo uno obtiene
- (3i)
Este es un tipo especial de ecuación diferencial, que se puede transformar mediante la sustitución en una ecuación diferencial, que puede resolverse mediante la separación de variables . Después de invertir la sustitución, se obtiene la ecuación de la solución:
La introducción de coordenadas polares conduce a la ecuación simple
que describe espirales logarítmicas (s. diagrama).
Métodos numéricos
En caso de que la ecuación diferencial de las trayectorias no pueda resolverse por métodos teóricos, hay que resolverla numéricamente, por ejemplo mediante métodos de Runge-Kutta .
Ver también
- Óvalo de Cassini
- Secciones cónicas confocales
- Trayectoria
- Círculos apolíneos , pares de familias de círculos que son todos ortogonales entre sí.
Referencias
- A. Jeffrey: Matemáticas de ingeniería avanzada , Hartcourt / Academic Press, 2002, ISBN 0-12-382592-X , p. 233.
- SB Rao: Ecuaciones diferenciales , University Press, 1996, ISBN 81-7371-023-6 , pág. 95.
- RM Redheffer, D. Port: Ecuaciones diferenciales: teoría y aplicaciones , Jones & Bartlett, 1991, ISBN 0-86720-200-9 , pág. 63.
- H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen , Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2 , pág. 120.
- Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (2012), Ecuaciones diferenciales ordinarias , Dover Books on Mathematics, Courier Dover, p. 115, ISBN 9780486134642.
enlaces externos
- Exploración de trayectorias ortogonales : applet que permite al usuario dibujar familias de curvas y sus trayectorias ortogonales.
- mathcurve: LÍNEAS DE CAMPO, LÍNEAS ORTOGONALES, SISTEMA ORTOGONAL DOBLE