El billar exterior es un sistema dinámico basado en una forma convexa en el plano. Clásicamente, este sistema se define para el plano euclidiano pero también se puede considerar el sistema en el plano hiperbólico o en otros espacios que generalicen adecuadamente el plano. El billar exterior se diferencia de un billar dinámico habitual en que se ocupa de una secuencia discreta de movimientos fuera de la forma en lugar de dentro de ella.
Definiciones
El mapa de billar exterior
Sea P una forma convexa en el plano. Dado un punto x0 fuera de P, normalmente hay un punto único x1 (también fuera de P) de modo que el segmento de línea que conecta x0 con x1 es tangente a P en su punto medio y una persona que camina de x0 a x1 verá P a la derecha. (Vea la figura.) El mapa F: x0 -> x1 se denomina mapa de billar exterior .
El mapa de billar exterior inverso (o al revés) también se define, como el mapa x1 -> x0. Uno obtiene el mapa inverso simplemente reemplazando la palabra derecha por la palabra izquierda en la definición dada arriba. La figura muestra la situación en el plano euclidiano , pero la definición en el plano hiperbólico es esencialmente la misma.
Órbitas
Una órbita de billar exterior es el conjunto de todas las iteraciones del punto, a saber ... x0 <--> x1 <--> x2 <--> x3 ... Es decir, comienza en x0 y aplica iterativamente ambos billares exteriores mapa y el mapa de billar exterior al revés. Cuando P es una forma estrictamente convexa, como una elipse , cada punto en el exterior de P tiene una órbita bien definida. Cuando P es un polígono , algunos puntos pueden no tener órbitas bien definidas, debido a la posible ambigüedad de elegir el punto medio de la línea tangente relevante. Sin embargo, en el caso poligonal, casi todos los puntos tienen una órbita bien definida.
- Una órbita se llama periódica si finalmente se repite.
- Una órbita se llama aperiódica (o no periódica ) si no es periódica.
- Una órbita se llama acotada (o estable ) si alguna región acotada en el plano contiene la órbita completa.
- Una órbita se llama ilimitada (o inestable ) si no está delimitada.
Espacios de mayor dimensión
Definir un sistema de billar exterior en un espacio de dimensiones superiores está más allá del alcance de este artículo. A diferencia del caso del billar ordinario , la definición no es sencilla. Un escenario natural para el mapa es un espacio vectorial complejo . En este caso, existe una elección natural de una línea tangente a un cuerpo convexo en cada punto. Uno obtiene estas tangentes comenzando con las normales y usando la estructura compleja para rotar 90 grados. Estas distinguidas líneas tangentes se pueden utilizar para definir el mapa de billar exterior más o menos como se muestra arriba. Consulte el libro de S. Tabachnikov (citado en las referencias) para obtener más detalles.
Historia
La mayoría de la gente atribuye la introducción del billar exterior a Bernhard Neumann a fines de la década de 1950, aunque parece que algunas personas citan una construcción anterior en 1945, debido a M. Day. Jürgen Moser popularizó el sistema en la década de 1970 como un modelo de juguete para la mecánica celeste . Este sistema ha sido estudiado clásicamente en el plano euclidiano , y más recientemente en el plano hiperbólico . También se pueden considerar espacios de dimensiones superiores, aunque todavía no se ha realizado ningún estudio serio. Bernhard Neumann planteó informalmente la cuestión de si uno puede tener órbitas ilimitadas en un sistema de billar exterior, y Moser lo puso por escrito en 1973. A veces, esta cuestión básica se ha denominado la cuestión de Moser-Neumann . Esta pregunta, planteada originalmente para las formas en el plano euclidiano y resuelta recientemente, ha sido un problema rector en el campo.
Pregunta de Moser-Neumann
Órbitas limitadas en el plano euclidiano
En los años 70, Jürgen Moser esbozó una prueba, basada en la teoría KAM , de que el billar exterior en relación con una forma de curvatura positiva 6 veces diferenciable tiene todas las órbitas delimitadas. En 1982, Raphael Douady dio la prueba completa de este resultado. Un gran avance en el caso poligonal se produjo durante un período de varios años cuando tres equipos de autores, Vivaldi-Shaidenko (1987), Kolodziej (1989) y Gutkin-Simanyi (1991), cada uno utilizando métodos diferentes, demostraron que el billar exterior relativo a un polígono cuasiracional tiene todas las órbitas delimitadas. La noción de cuasiracional es técnica (ver referencias) pero incluye la clase de polígonos regulares y polígonos racionales convexos , es decir, aquellos polígonos convexos cuyos vértices tienen coordenadas racionales . En el caso de polígonos racionales, todas las órbitas son periódicas. En 1995, Tabachnikov demostró que el billar exterior del pentágono regular tiene algunas órbitas aperiódicas, aclarando así la distinción entre la dinámica en los casos racionales y regulares. En 1996, Boyland demostró que los billares exteriores en relación con algunas formas pueden tener órbitas que se acumulan en la forma. En 2005, D. Genin demostró que todas las órbitas están limitadas cuando la forma es un trapezoide , lo que demuestra que la cuasiracionalidad no es una condición necesaria para que el sistema tenga todas las órbitas delimitadas. (No todos los trapezoides son cuasiracionales).
Órbitas ilimitadas en el plano euclidiano
En 2007, RE Schwartz demostró que el billar exterior tiene algunas órbitas ilimitadas cuando se define en relación con el Penrose Kite, respondiendo así afirmativamente a la pregunta original de Moser-Neumann. La cometa de Penrose es el cuadrilátero convexo de las teselas de Penrose de cometas y dardos . Posteriormente, Schwartz demostró que el billar exterior tiene órbitas ilimitadas cuando se define en relación con cualquier cometa irracional. Una cometa irracional es un cuadrilátero con la siguiente propiedad: una de las diagonales del cuadrilátero divide la región en dos triángulos de igual área y la otra diagonal divide la región en dos triángulos cuyas áreas no son múltiplos racionales entre sí. En 2008, Dolgopyat-Fayad mostró que el billar exterior definido en relación con el semidisco tiene órbitas ilimitadas. El semidisco es la región que se obtiene al cortar un disco por la mitad. La prueba de Dolgopyat-Fayad es sólida y también funciona para regiones obtenidas cortando un disco casi por la mitad, cuando la palabra casi se interpreta adecuadamente.
Órbitas ilimitadas en el plano hiperbólico
En 2003, Dogru y Tabachnikov demostraron que todas las órbitas son ilimitadas para una determinada clase de polígonos convexos en el plano hiperbólico . Los autores llaman a estos polígonos grandes . (Ver la referencia para la definición.) Dogru y Otten luego ampliaron este trabajo en 2011 especificando las condiciones bajo las cuales una tabla poligonal regular en el plano hiperbólico tiene todas las órbitas ilimitadas, es decir, son grandes.
Existencia de órbitas periódicas
En el billar poligonal ordinario , la existencia de órbitas periódicas es un problema importante sin resolver. Por ejemplo, se desconoce si cada mesa de forma triangular tiene una ruta de billar periódica. Se han hecho más avances para el billar exterior, aunque la situación está lejos de ser bien entendida. Como se mencionó anteriormente, todas las órbitas son periódicas cuando el sistema se define en relación con un polígono racional convexo en el plano euclidiano . Además, es un teorema reciente de C. Culter (escrito por S. Tabachnikov) que el billar exterior relativo a cualquier polígono convexo tiene órbitas periódicas, de hecho, una órbita periódica fuera de cualquier región acotada dada.
Preguntas abiertas
El billar exterior es un tema aún en su fase inicial. La mayoría de los problemas siguen sin resolverse. Aquí hay algunos problemas abiertos en el área.
- Muestre que los billares exteriores en relación con casi todos los polígonos convexos tienen órbitas ilimitadas.
- Muestre que el billar exterior relativo a un polígono regular tiene casi todas las órbitas periódicas. Los casos del triángulo equilátero y el cuadrado son triviales, y Tabachnikov respondió a esto para el pentágono regular. Estos son los únicos casos conocidos.
- De manera más amplia, caracterizar la estructura del conjunto de órbitas periódicas en relación con el polígono convexo típico .
- Comprender la estructura de las órbitas periódicas en relación con formas simples en el plano hiperbólico, como pequeños triángulos equiláteros.
Referencias
- BH Neumann (25 de enero de 1959). "Compartiendo Jamón y Huevos". Iota: Diario de estudiantes de matemáticas de la Universidad de Manchester .
- J. Moser (1973). Movimientos estables y aleatorios en sistemas dinámicos . Anales de estudios matemáticos. 77 . Prensa de la Universidad de Princeton.
- J. Moser (1978). "¿Es estable el sistema solar?". Intelligencer matemático . 1 (2): 65–71. doi : 10.1007 / BF03023062 .
- R. Douady (1982). "estos de 3-eme ciclo". Universidad de París 7. Cite journal requiere
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( ayuda ) - F. Vivaldi, A. Shaidenko (1987). "Estabilidad global de una clase de billar discontinuo". Comunicaciones en Física Matemática . 110 (4): 625–640. Código Bibliográfico : 1987CMaPh.110..625V . doi : 10.1007 / BF01205552 .
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