Óvalo de Cassini

En geometría , un óvalo de Cassini es una curva plana cuartica definida como el lugar geométrico de los puntos en el plano tal que el producto de las distancias a dos puntos fijos ( focos ) es constante. Esto puede contrastarse con una elipse , para la cual la suma de las distancias es constante, en lugar del producto. Los óvalos de Cassini son el caso especial de las lemniscatas de polinomios cuando el polinomio utilizado tiene grado 2.

Los óvalos de Cassini llevan el nombre del astrónomo Giovanni Domenico Cassini , quien los estudió en 1680. ^[1] Cassini creía que el Sol viajaba alrededor de la Tierra en uno de estos óvalos, con la Tierra en un foco del óvalo. ^{[ cita requerida ]} Otros nombres incluyen óvalos de Cassinian , curvas de Cassinian y óvalos de Cassini .

Un óvalo de Cassini es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto, el producto de las distancias a dos puntos fijos es una constante, generalmente escrita como donde : ${\ estilo de visualización P}$${\ estilo de visualización |PP_{1}|,\,|PP_{2}|}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\ estilo de visualización b ^ {2}}$${\ estilo de visualización b> 0}$

Al igual que con una elipse, los puntos fijos se denominan focos del óvalo de Cassini.${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

La curva depende, hasta la semejanza, de e  =  b / a . Cuando e  < 1, la curva consta de dos bucles desconectados, cada uno de los cuales contiene un foco. Cuando e  = 1, la curva es la lemniscata de Bernoulli que tiene la forma de un ocho de lado con un punto doble (en concreto, un crunodo ) en el origen. ^{[2] [3]} Cuando e  > 1, la curva es un solo bucle conectado que encierra ambos focos. Tiene forma de maní para y convexa para . ^[4] El caso límite de a → 0 (por lo tanto, e →${\displaystyle 1<e<{\sqrt {2}}}$${\displaystyle e\geq {\sqrt {2}}}$${\ estilo de visualización \ infinito}$), en cuyo caso los focos coinciden entre sí, es un círculo .

La curva siempre tiene intersecciones x en ±  c donde c ²  =  a ²  +  b ² . Cuando e  < 1 hay dos intersecciones en x reales adicionales y cuando e  > 1 hay dos intersecciones en y reales, todas las demás intersecciones en x e y son imaginarias. ^[5]

Tres óvalos de Cassini, que se diferencian por el rango dentro del cual cae el parámetro e (igual a b / a ):

  0 < mi < 1

  mi = 1

  1 < mi < √ 2

No se muestra: e ≥ √ 2 (convexo).

Óvalo de Cassini: para cualquier ubicación de P en la curva${\displaystyle |PP_{1}|\!\!\;\veces \!\!\;|PP_{2}|=b^{2}}$

Algunos óvalos de Cassini. ( b  =  0,6 a , 0,8 a , a , 1,2 a , 1,4 a , 1,6 a )

Óvalos de Cassini y sus trayectorias ortogonales (hipérbolas)

Óvalos de Cassini como secciones planas de un toro (el toro de la derecha es un toro de huso )