Grupo (matemáticas)
En matemáticas , un grupo es un conjunto equipado con una operación que combina dos elementos cualesquiera para formar un tercer elemento, de tal forma que la operación es asociativa , existe un elemento identidad y todo elemento tiene un inverso . Estas tres condiciones, llamadas axiomas de grupo, válido para sistemas numéricos y muchas otras estructuras matemáticas. Por ejemplo, los números enteros junto con la operación de suma forman un grupo. El concepto de grupo y su definición a través de los axiomas de grupo se elaboró para manejar, de manera unificada, propiedades estructurales esenciales de entidades de muy diferente naturaleza matemática (como números, formas geométricas y raíces de polinomios ). Debido a la ubicuidad de los grupos en numerosas áreas (tanto dentro como fuera de las matemáticas), algunos autores los consideran como un principio organizador central de las matemáticas contemporáneas. [1] [2]
Los grupos surgen naturalmente en geometría para el estudio de simetrías y transformaciones geométricas : las simetrías de un objeto forman un grupo, llamado grupo de simetría del objeto, y las transformaciones de un tipo dado generalmente forman un grupo. Estos ejemplos estaban en el origen del concepto de grupo (junto con los grupos de Galois ). Los grupos de mentira surgen como grupos de simetría en geometría, pero también aparecen en el modelo estándar de física de partículas . El grupo de Poincaré es un grupo de Lie que consiste en las simetrías del espacio-tiempo en relatividad especial . Los grupos de puntos describen la simetría en la química molecular .
El concepto de grupo surgió del estudio de las ecuaciones polinómicas , comenzando con Évariste Galois en la década de 1830, quien introdujo el término grupo ( groupe , en francés) para el grupo de simetría de las raíces de una ecuación, ahora llamado grupo de Galois . Después de las contribuciones de otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. La teoría de grupos moderna , una disciplina matemática activa, estudia los grupos por derecho propio. Para explorar grupos, los matemáticos han ideado varias nociones para dividir los grupos en partes más pequeñas y mejor comprensibles, como subgrupos ., grupos de cocientes y grupos simples . Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de grupos también estudian las diferentes formas en que un grupo puede expresarse concretamente, tanto desde el punto de vista de la teoría de la representación (es decir, a través de las representaciones del grupo ) como de la teoría computacional de grupos . Se ha desarrollado una teoría para grupos finitos , que culminó con la clasificación de grupos finitos simples , completada en 2004. Desde mediados de la década de 1980, la teoría de grupos geométricos , que estudia grupos finitos generados como objetos geométricos, se ha convertido en un área activa en la teoría de grupos. .
Los números enteros, junto con la operación , forman un objeto matemático que pertenece a una amplia clase que comparte aspectos estructurales similares. Para entender adecuadamente estas estructuras como un colectivo, se desarrolla la siguiente definición .
Los axiomas para un grupo son breves y naturales... Sin embargo, de alguna manera escondido detrás de estos axiomas está el monstruoso grupo simple , un enorme y extraordinario objeto matemático, que parece basarse en numerosas coincidencias extrañas para existir. Los axiomas para grupos no dan ninguna pista obvia de que exista algo así.
