En el campo matemático de la geometría diferencial , el operador de Paneitz es un operador diferencial de cuarto orden definido en una variedad de Riemann de dimensión n . Lleva el nombre de Stephen Paneitz , quien lo descubrió en 1983, y cuya preimpresión se publicó más tarde póstumamente en Paneitz 2008 . De hecho, el mismo operador se encontró anteriormente en el contexto de supergravedad conforme por E. Fradkin y A. Tseytlin en 1982 (Phys Lett B 110 (1982) 117 y Nucl Phys B 1982 (1982) 157). Está dado por la fórmula
donde Δ es el operador de Laplace-Beltrami , d es la derivada exterior , δ es su adjunto formal, V es el tensor de Schouten , J es la traza del tensor de Schouten y el punto denota la contracción del tensor en cualquiera de los índices. Aquí Q es el invariante escalar
El operador es especialmente importante en geometría conforme , porque en un sentido adecuado depende únicamente de la estructura conforme . Otro operador de este tipo es el laplaciano conforme . Pero, mientras que el Laplaciano conforme es de segundo orden, con el símbolo principal un múltiplo del operador de Laplace-Beltrami, el operador de Paneitz es de cuarto orden, con el símbolo principal el cuadrado del operador de Laplace-Beltrami. El operador de Paneitz es conforme invariante en el sentido de que envía densidades conforme de peso 2 - n / 2 a densidades conforme de peso −2 - n / 2. Concretamente, utilizando la trivialización canónica de los haces de densidad en presencia de una métrica, el operador de Paneitz P se puede representar en términos de una métrica de Riemanniana representativa g como un operador ordinario en funciones que se transforma según un cambio conforme g ↦ Ω 2 g según la regla
El operador se derivó originalmente elaborando específicamente los términos de corrección de orden inferior para garantizar la invariancia conforme. Investigaciones posteriores han situado al operador de Paneitz en una jerarquía de operadores análogos conforme invariantes en densidades: los operadores GJMS .
El operador de Paneitz se ha estudiado más a fondo en la dimensión cuatro, donde aparece naturalmente en conexión con problemas extremos para el determinante funcional del laplaciano (a través de la fórmula de Polyakov ; ver Branson y Ørsted 1991 ). Solo en la dimensión cuatro, el operador de Paneitz es el operador "crítico" de GJMS, lo que significa que hay una pieza escalar residual (la curvatura Q ) que solo puede recuperarse mediante análisis asintótico. El operador de Paneitz también aparece en problemas extremos para la desigualdad de Moser-Trudinger en la dimensión cuatro ( Chang 1999 )