Panales uniformes paracompactos
En geometría , los panales uniformes en el espacio hiperbólico son teselados de células poliédricas uniformes convexas . En el espacio hiperbólico tridimensional hay 23 familias del grupo Coxeter de panales uniformes paracompactos , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter para cada familia. Estas familias pueden producir panales uniformes con facetas o figuras de vértices infinitas o ilimitadas , incluidos vértices ideales en el infinito, similares a los mosaicos uniformes hiperbólicos en 2 dimensiones .
De los panales uniformes paracompactos H 3 , 11 son regulares , es decir que su grupo de simetrías actúa transitivamente sobre sus banderas. Estos tienen el símbolo de Schläfli {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6 }, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} y {6,3,6}, y se muestran a continuación. Cuatro tienen celdas poliédricas ideales finitas : {3,3,6}, {4,3,6}, {3,4,4} y {5,3,6}.
Esta es una enumeración completa de los 151 panales uniformes paracompactos Wythoffianos únicos generados a partir de dominios fundamentales tetraédricos (grupos coxeter paracompactos de rango 4). Los panales están indexados aquí para hacer referencias cruzadas a formularios duplicados, con corchetes alrededor de las construcciones no primarias.
Las alternancias se enumeran, pero se repiten o no generan soluciones uniformes. Las alternancias de un solo orificio representan una operación de eliminación de espejos. Si se elimina un nodo final, se genera otra familia simplex (tetraédrica). Si un agujero tiene dos ramas, se genera un politopo de Vinberg , aunque sólo los politopos de Vinberg con simetría especular están relacionados con los grupos simplex y sus panales uniformes no se han explorado sistemáticamente. Estos grupos de Coxeter no simplécticos (piramidales) no se enumeran en esta página, excepto como casos especiales de medios grupos de los tetraédricos. Seis panales uniformes que surgen aquí como alternancias han sido numerados del 152 al 157, en honor a las 151 formas wythoffianas que no requieren alternancia para su construcción.
La lista completa de grupos de Coxeter paracompactos no simplécticos (no tetraédricos) fue publicada por P. Tumarkin en 2003. [1] La forma paracompacta más pequeña en H 3 puede representarse mediante
o
, o [∞,3,3,∞] que puede construirse mediante la eliminación especular del grupo hiperbólico paracompacto [3,4,4] como [3,4,1 + ,4] :
=
. El dominio fundamental duplicado cambia de un tetraedro a una pirámide cuadrilátera. Otra pirámide eso
, construido como [4,4,1 + ,4] = [∞,4,4,∞] :=.
Quitando un espejo de algunos de los gráficos hiperbólicos cíclicos de Coxeter se convierten en gráficos de pajarita: [(3,3,4,1 + ,4)] = [((3,∞,3)),((3,∞,3 ))] o
, [(3,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,3)),((3,∞,4))] o
, [(4,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,4)),((4,∞,4))] o
.
=
,=,=.