En matemáticas, la combinatoria infinitaria , o teoría combinatoria de conjuntos , es una extensión de ideas en combinatoria a conjuntos infinitos . Algunas de las cosas estudiadas incluyen gráficos y árboles continuos , extensiones del teorema de Ramsey y el axioma de Martin . Los desarrollos recientes se refieren a la combinatoria del continuo [1] y la combinatoria en los sucesores de los cardenales singulares. [2]
Teoría de Ramsey para conjuntos infinitos
Escribe κ, λ para ordinales, m para un número cardinal y n para un número natural. Erdős & Rado (1956) introdujeron la notación
como una forma abreviada de decir que cada partición del conjunto [κ] n de subconjuntos de n elementos deen m piezas tiene un conjunto homogéneo de tipo de orden λ. Un conjunto homogéneo es en este caso un subconjunto de κ tal que cada subconjunto de n elementos está en el mismo elemento de la partición. Cuando m es 2, a menudo se omite.
Suponiendo el axioma de elección , no hay ordinales κ con κ → (ω) ω , por lo que normalmente se considera que n es finito. Una extensión donde n es casi permitió a ser infinito es la notación
que es una forma abreviada de decir que cada partición del conjunto de subconjuntos finitos de κ en m piezas tiene un subconjunto de tipo de orden λ tal que para cualquier n finito , todos los subconjuntos de tamaño n están en el mismo elemento de la partición. Cuando m es 2, a menudo se omite.
Otra variación es la notación
que es una forma abreviada de decir que cada coloración del conjunto [κ] n de n subconjuntos de elementos de κ con 2 colores tiene un subconjunto de tipo de orden λ tal que todos los elementos de [λ] n tienen el primer color, o un subconjunto de tipo de orden μ tal que todos los elementos de [μ] n tengan el segundo color.
Algunas propiedades de esto incluyen: (en lo que sigue es un cardenal)
- para todo n y k finitos ( teorema de Ramsey ).
- ( Teorema de Erdős-Rado .)
- (Teorema de Sierpiński)
- ( Teorema de Erdős-Dushnik-Miller ).
En universos sin elección, las propiedades de partición con exponentes infinitos pueden ser válidas, y algunas de ellas se obtienen como consecuencia del axioma de determinación (AD). Por ejemplo, Donald A. Martin demostró que AD implica
Grandes cardenales
Se pueden definir varias propiedades cardinales grandes usando esta notación. En particular:
- Los cardenales débilmente compactos κ son aquellos que satisfacen κ → (κ) 2
- α- Los cardenales de Erdős κ son los más pequeños que satisfacen κ → (α) <ω
- Los cardenales de Ramsey κ son aquellos que satisfacen κ → (κ) <ω
Notas
- ^ Andreas Blass , Características cardinales combinatorias del continuo , Capítulo 6 del Manual de teoría de conjuntos, editado por Matthew Foreman y Akihiro Kanamori , Springer, 2010
- ^ Todd Eisworth, Successors of Singular Cardinals Capítulo 15 en Handbook of Set Theory, editado por Matthew Foreman y Akihiro Kanamori, Springer, 2010
Referencias
- Dushnik, Ben; Miller, EW (1941), "Conjuntos ordenados parcialmente", American Journal of Mathematics , 63 (3): 600–610, doi : 10.2307 / 2371374 , hdl : 10338.dmlcz / 100377 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371374 , MR 0004862
- Erdős, Paul ; Hajnal, András (1971), "Problemas no resueltos en la teoría de conjuntos", Teoría de conjuntos axiomática (Univ. California, Los Ángeles, Calif., 1967) , Proc. Simpos. Pure Math, XIII Parte I, Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 17–48, MR 0280381
- Erdős, Paul ; Hajnal, András ; Máté, Attila; Rado, Richard (1984), Teoría de conjuntos combinatoria: relaciones de partición para cardenales , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, 106 , Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-86157-2, MR 0795592
- Erdős, P .; Rado, R. (1956), "Un cálculo de partición en la teoría de conjuntos" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 62 (5): 427–489, doi : 10.1090 / S0002-9904-1956-10036-0 , MR 0081864
- Kanamori, Akihiro (2000). El Infinito Superior (segunda ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.
- Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia , Amsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-85401-8