En matemáticas, una curva de pedal de una curva dada resulta de la proyección ortogonal de un punto fijo en las líneas tangentes de esta curva. Más precisamente, para una curva plana C y una fija dada punto pedal P , la curva de pedal de C es el locus de los puntos X de modo que la línea de PX es perpendicular a una tangente T a la curva pasa por el punto X . Por el contrario, en cualquier punto R de la curva C , sea Tser la recta tangente en ese punto R ; entonces hay un punto único X en la tangente T que forma con el punto del pedal P una línea perpendicular a la tangente T (para el caso especial cuando el punto fijo P se encuentra en la tangente T , los puntos X y P coinciden) - el curva de pedal es el conjunto de dichos puntos X , llamado el pie de la perpendicular a la tangente T desde el punto fijo P , como la variable de punto R rangos de más de la curva C .
Complementando la curva del pedal, hay un punto único Y en la línea normal a C en R, de modo que PY es perpendicular a la normal, por lo que PXRY es un rectángulo (posiblemente degenerado). El lugar geométrico de los puntos Y se denomina curva contrapedal.
El orthotomic de una curva es su pedal aumentada en un factor de 2 de modo que el centro de similitud es P . Esto es locus de la reflexión de P a través de la línea tangente T .
La curva de pedal es la primera de una serie de curvas C 1 , C 2 , C 3 , etc., donde C 1 es el pedal de C , C 2 es el pedal de C 1 , y así sucesivamente. En este esquema, C 1 se conoce como el primer pedal positivo de C , C 2 es el segundo pedal positivo de C , y así sucesivamente. Yendo en la otra dirección, C es el primer pedal negativo de C 1 , el segundo pedal negativo de C 2 , etc. [1]
Ecuaciones
De la ecuación cartesiana
Tome P como el origen. Para una curva dada por la ecuación F ( x , y ) = 0, si la ecuación de la recta tangente en R = ( x 0 , y 0 ) se escribe en la forma
entonces el vector (cos α, sen α) es paralelo al segmento PX , y la longitud de PX , que es la distancia desde la recta tangente al origen, es p . Entonces, X está representado por las coordenadas polares ( p , α) y reemplazando ( p , α) por ( r , θ) produce una ecuación polar para la curva del pedal. [2]
Por ejemplo, [3] para la elipse
la recta tangente en R = ( x 0 , y 0 ) es
y escribir esto en la forma dada arriba requiere que
La ecuación de la elipse se puede utilizar para eliminar x 0 e y 0 dando
y convertir a ( r , θ) da
como la ecuación polar para el pedal. Esto se convierte fácilmente en una ecuación cartesiana como
De la ecuación polar
Para P el origen y C dados en coordenadas polares por r = f (θ). Sea R = ( r , θ) un punto en la curva y sea X = ( p , α) el punto correspondiente en la curva del pedal. Sea ψ el ángulo entre la recta tangente y el vector de radio, a veces conocido como ángulo tangencial polar . Es dado por
Luego
y
Estas ecuaciones pueden usarse para producir una ecuación en py α que, cuando se traduce a r y θ, da una ecuación polar para la curva del pedal. [4]
Por ejemplo, [5] sea la curva el círculo dado por r = a cos θ. Luego
entonces
También
Entonces la ecuación polar del pedal es
De la ecuación del pedal
Las ecuaciones de pedal de una curva y su pedal están estrechamente relacionadas. Si P es tomado como el punto de pedal y el origen entonces se puede demostrar que el ψ ángulo entre la curva y el radio vector en un punto R es igual al ángulo correspondiente para la curva de pedal en el punto X . Si p es la longitud de la perpendicular trazada desde P a la tangente de la curva (es decir, PX ) yq es la longitud de la perpendicular correspondiente trazada desde P a la tangente al pedal, entonces por triángulos similares
De ello se deduce inmediatamente que si la ecuación del pedal de la curva es f ( p , r ) = 0, entonces la ecuación del pedal para la curva del pedal es [6]
A partir de esto, todos los pedales positivos y negativos se pueden calcular fácilmente si se conoce la ecuación del pedal de la curva.
De ecuaciones paramétricas
Dejar sea el vector de R a P y escriba
- ,
los componentes tangencial y normal decon respecto a la curva. Luegoes el vector de R a X a partir del cual se puede calcular la posición de X.
Específicamente, si c es una parametrización de la curva, entonces
parametriza la curva del pedal (sin tener en cuenta los puntos donde c ' es cero o indefinido).
Para una curva definida paramétricamente, su curva de pedal con punto de pedal (0; 0) se define como
La curva contrapedal viene dada por:
Con el mismo punto de pedal, la curva contrapedal es la curva de pedal de la evolución de la curva dada.
Propiedades geométricas
Considere un ángulo recto que se mueve rígidamente de modo que un lado permanezca en el punto P y el otro lado sea tangente a la curva. Entonces el vértice de este ángulo es X y traza la curva del pedal. A medida que el ángulo se mueve, su dirección de movimiento en P es paralela a PX y su dirección de movimiento en R es paralela a la tangente T = RX . Por lo tanto, el centro instantáneo de rotación es la intersección de la línea perpendicular a PX en P y perpendicular al RX en R , y este punto es Y . Si se deduce que la tangente al pedal en X es perpendicular a XY .
Dibuja un círculo con diámetro PR , luego circunscribe el rectángulo PXRY y XY es otro diámetro. El círculo y el pedal son tanto perpendicular a XY por lo que son tangente en X . Por tanto, el pedal es la envolvente de los círculos con diámetros PR donde R se encuentra en la curva.
La línea YR es normal a la curva y la envolvente de tales normales es su evolución . Por tanto, YR es tangente a la evoluta y el punto Y es el pie de la perpendicular de P a esta tangente, es decir, Y está en el pedal de la evoluta. De ello se deduce que el contrapedal de una curva es el pedal de su evoluta.
Deje C ' sea la curva obtenida por la reducción de C por un factor de 2 hacia P . Entonces el punto R ′ correspondiente a R es el centro del rectángulo PXRY , y la tangente a C ′ en R ′ biseca este rectángulo paralelo a PY y XR . Un rayo de luz procedente de partida P y reflejada por C ' en R' serán entonces pasar a través de Y . El rayo reflejado, cuando se extiende, es la línea XY que es perpendicular al pedal de C . La envolvente de las líneas perpendiculares al pedal es entonces la envolvente de los rayos reflejados o la catacáustica de C ′ . Esto prueba que la catacáustica de una curva es la evolución de su ortotómica.
Como se señaló anteriormente, el círculo con diámetro PR es tangente al pedal. El centro de este círculo es R ′ que sigue la curva C ′ .
Sea D ′ una curva congruente con C ′ y deje que D ′ ruede sin resbalar, como en la definición de una ruleta , sobre C ′ de modo que D ′ sea siempre el reflejo de C ′ con respecto a la línea a la que están mutuamente tangente. Luego, cuando las curvas se tocan en R ′, el punto correspondiente a P en el plano en movimiento es X , por lo que la ruleta es la curva del pedal. De manera equivalente, la ortotómica de una curva es la ruleta de la curva en su imagen especular.
Ejemplo
Cuando C es un círculo, la discusión anterior muestra que las siguientes definiciones de limaçon son equivalentes:
- Es el pedal de un círculo.
- Es la envolvente de círculos cuyos diámetros tienen un extremo en un punto fijo y otro extremo que sigue a un círculo.
- Es la envolvente de círculos a través de un punto fijo cuyos centros siguen un círculo.
- Es la ruleta formada por un círculo que rueda alrededor de un círculo con el mismo radio.
También hemos demostrado que la catacáustica de un círculo es la evolución de un limaçon.
Pedales de curvas específicas
Los pedales de algunas curvas específicas son: [7]
Curva | Ecuación | Punto de pedal | Curva de pedal |
---|---|---|---|
Circulo | Punto en la circunferencia | Cardioide | |
Circulo | Cualquier punto | Limaçon | |
Parábola | Enfocar | La recta tangente en el vértice | |
Parábola | Vértice | Cissoide de diocles | |
Deltoides | Centrar | Trifolio | |
Cónica central | Enfocar | Círculo auxiliar | |
Cónica central | Centrar | (un hipopede ) | |
Hipérbola rectangular | Centrar | Lemniscate de Bernoulli | |
Espiral logarítmica | Polo | Espiral logarítmica | |
Espiral sinusoidal | Polo | (otra espiral sinusoidal) |
Ver también
Referencias
Notas
Fuentes
- J. Edwards (1892). Cálculo diferencial . Londres: MacMillan and Co. págs. 161 y sigs.
- Benjamin Williamson (1899). Un tratado elemental sobre el cálculo diferencial . Logmans, Green y Co. págs. 227 y sigs.
Otras lecturas
- Cálculo diferencial e integral: con aplicaciones de George Greenhill (1891) p326 y sigs. ( Archivo de Internet )
- J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. pag. 60 . ISBN 0-486-60288-5.
- "Nota sobre el problema de las curvas de los pedales" por Arthur Cayley
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Pedal Curve" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Curva contrapedal" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Orthotomic" . MathWorld .