En matemáticas , un número triangular cuadrado (o número cuadrado triangular ) es un número que es tanto un número triangular como un cuadrado perfecto . Hay infinitos números triangulares cuadrados; los primeros son:
Fórmulas explícitas
Escribe N k para el k- ésimo número triangular cuadrado, y escribe s k y t k para los lados del cuadrado y triángulo correspondientes, de modo que
Definir la raíz triangular de un número triangular N =n ( n + 1)/2ser n . De esta definición y la fórmula cuadrática,
Por lo tanto, N es triangular ( n es un número entero) si y solo si 8 N + 1 es cuadrado. En consecuencia, un número cuadrado M 2 también es triangular si y sólo si 8 M 2 + 1 es cuadrada, que es, hay un número x y Y de tal manera que x 2 - 8 y 2 = 1 . Este es un ejemplo de la ecuación de Pell con n = 8 . Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial x = 1, y = 0 para cualquier n ; esto se llama solución cero y se indexa como ( x 0 , y 0 ) = (1,0) . Si ( x k , y k ) denota la k- ésima solución no trivial de cualquier ecuación de Pell para un n particular , se puede demostrar por el método de descenso que
Por lo tanto, hay una infinidad de soluciones para cualquier ecuación de Pell para la que hay una no trivial, que se cumple siempre que n no es un cuadrado. La primera solución no trivial cuando n = 8 es fácil de encontrar: es (3,1). Una solución ( x k , y k ) a la ecuación de Pell para n = 8 produce un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares de la siguiente manera:
Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de (3,1), es 1, y el siguiente, derivado de 6 × (3,1) - (1,0) = (17,6) , es 36.
Las secuencias de N k , s k y t k son la OEIS secuencias de OEIS : A001110 , OEIS : A001109 , y OEIS : A001108 respectivamente.
En 1778 Leonhard Euler determinó la fórmula explícita [1] [2] : 12-13
Otras fórmulas equivalentes (obtenidas al expandir esta fórmula) que pueden ser convenientes incluyen
Las fórmulas explícitas correspondientes para s k y t k son: [2] : 13
Ecuación de Pell
El problema de encontrar números triangulares cuadrados se reduce a la ecuación de Pell de la siguiente manera. [3]
Cada número triangular tiene la forma t ( t + 1)/2. Por lo tanto, buscamos números enteros t , s tales que
Reorganizando, esto se convierte en
y luego dejando x = 2 t + 1 e y = 2 s , obtenemos la ecuación diofántica
que es un ejemplo de la ecuación de Pell . Esta ecuación particular se resuelve con los números de Pell P k como [4]
y por lo tanto todas las soluciones vienen dadas por
Hay muchas identidades sobre los números Pell, y estos se traducen en identidades sobre los números triangulares cuadrados.
Relaciones de recurrencia
Existen relaciones de recurrencia para los números triangulares cuadrados, así como para los lados del cuadrado y del triángulo involucrados. Tenemos [5] : (12)
Otras caracterizaciones
Todos los números triangulares cuadrados tienen la forma b 2 c 2 , dondeB/Ces convergente a la expansión fraccionaria continua de √ 2 . [6]
AV Sylwester dio una breve prueba de que hay una infinidad de números triangulares cuadrados: [7] Si el n- ésimo número triangularn ( n + 1)/2es cuadrado, entonces también lo es el 4 n ( n + 1) ésimo número triangular más grande, ya que:
Como producto de tres cuadrados, el lado derecho es cuadrado. Las raíces triangulares t k son simultáneamente una menos que un cuadrado y dos veces un cuadrado si k es par, y simultáneamente un cuadrado y una menos que dos veces por cuadrado si k es impar. Por lo tanto,
- 49 = 7 2 = 2 × 5 2-1 ,
- 288 = 17 2 - 1 = 2 × 12 2 , y
- 1681 = 41 2 = 2 × 29 2-1 .
En cada caso, las dos raíces cuadradas involucradas se multiplican para dar s k : 5 × 7 = 35 , 12 × 17 = 204 y 29 × 41 = 1189 . [ cita requerida ]
Adicionalmente:
36 - 1 = 35 , 1225 - 36 = 1189 y 41616 - 1225 = 40391 . En otras palabras, la diferencia entre dos números triangulares cuadrados consecutivos es la raíz cuadrada de otro número triangular cuadrado. [ cita requerida ]
La función generadora de los números triangulares cuadrados es: [8]
Datos numéricos
A medida que k aumenta, la relaciónt k/s kenfoques √ 2 ≈ 1.414 213 56 , y la razón de los sucesivos números cuadrados triangulares se aproxima a (1 + √ 2 ) 4 = 17 + 12 √ 2 ≈ 33.970 562 748 . La siguiente tabla muestra valores de k entre 0 y 11, que comprenden todos los números triangulares cuadrados hasta10 16 .
k N k s k t k t k/s k N k/N k - 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 36 6 8 1.333 333 33 36 3 1 225 35 49 1.4 34.027 777 778 4 41 616 204 288 1.411 764 71 33.972 244 898 5 1 413 721 1 189 1 681 1.413 793 10 33.970 612 265 6 48 024 900 6 930 9 800 1.414 141 41 33.970 564 206 7 1 631 432 881 40 391 57 121 1.414 201 18 33.970 562 791 8 55 420 693 056 235 416 332 928 1.414 211 44 33.970 562 750 9 1 882 672 131 025 1 372 105 1 940 449 1.414 213 20 33.970 562 749 10 63 955 431 761 796 7 997 214 11 309 768 1.414 213 50 33.970 562 748 11 2 172 602 007 770 041 46 611 179 65 918 161 1.414 213 55 33.970 562 748
Ver también
- Problema de bala de cañón , en números que son simultáneamente cuadrados y piramidales cuadrados
- Sexta potencia , números que son simultáneamente cuadrados y cúbicos
Notas
- ↑ a b Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. Historia de la Teoría de los Números . 2 . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
- ^ a b c Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Una regla fácil para problemas diofánticos que deben resolverse rápidamente mediante números enteros)" . Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (en latín). 4 : 3-17 . Consultado el 11 de mayo de 2009 .
Según los registros, fue presentado a la Academia de San Petersburgo el 4 de mayo de 1778.
- ^ Barbeau, Edward (2003). Ecuación de Pell . Libros de problemas en matemáticas. Nueva York: Springer. pp. 16 -17. ISBN 978-0-387-95529-2. Consultado el 10 de mayo de 2009 .
- ^ Hardy, GH ; Wright, EM (1979). Introducción a la teoría de los números (5ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 210 . ISBN 0-19-853171-0.
Teorema 244
- ^ Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado" . MathWorld .
- ^ Ball, WW Rouse ; Coxeter, HSM (1987). Recreaciones y ensayos matemáticos . Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 59 . ISBN 978-0-486-25357-2.
- ^ Pietenpol, JL; Sylwester, AV; Solo, Erwin; Warten, RM (febrero de 1962). "Problemas y soluciones elementales: E 1473, números triangulares cuadrados". American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 69 (2): 168–169. doi : 10.2307 / 2312558 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2312558 .
- ^ Plouffe, Simon (agosto de 1992). "Funciones de generación 1031" (PDF) . Universidad de Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. pag. A.129 . Consultado el 11 de mayo de 2009 .
enlaces externos
- Números triangulares que también son cuadrados al cortar el nudo
- Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado" . MathWorld .
- La solución de Michael Dummett