En física teórica , la transformada de Penrose , introducida por Roger Penrose ( 1967 , 1968 , 1969 ), es un análogo complejo de la transformada de radón que relaciona los campos sin masa en el espacio-tiempo con la cohomología de haces en el espacio proyectivo complejo . El espacio proyectivo en cuestión es el espacio twistor , un espacio geométrico asociado naturalmente al espaciotiempo original, y la transformada twistor también es geométricamente natural en el sentido de geometría integral . La transformada de Penrose es un componente importante de la clásicateoría del twistor .
Descripción general
De manera abstracta, la transformada de Penrose opera sobre una doble fibración de un espacio Y , sobre dos espacios X y Z
En la transformada de Penrose clásica, Y es el conjunto de espines , X es una forma compacta y compleja del espacio de Minkowski y Z es el espacio de twistor. Más generalmente, los ejemplos provienen de fibraciones dobles de la forma
donde G es un grupo de Lie semisimple complejo y H 1 y H 2 son subgrupos parabólicos.
La transformada de Penrose opera en dos etapas. Primero, uno retrocede los grupos de cohomología de la gavilla H r ( Z , F ) a la cohomología de la gavilla H r ( Y , η −1 F ) en Y ; en muchos casos donde la transformada de Penrose es de interés, este retroceso resulta ser un isomorfismo. Luego, se empujan las clases de cohomología resultantes a X ; es decir, se investiga la imagen directa de una clase de cohomología mediante la secuencia espectral de Leray . La imagen directa resultante se interpreta luego en términos de ecuaciones diferenciales. En el caso de la transformada de Penrose clásica, las ecuaciones diferenciales resultantes son precisamente las ecuaciones de campo sin masa para un giro dado.
Ejemplo
El ejemplo clásico se da como sigue
- El "espacio twistor" Z es CP 3 proyectivo complejo de 3 espacios , que también es el Grassmanniano Gr 1 ( C 4 ) de líneas en un espacio complejo de 4 dimensiones.
- X = Gr 2 ( C 4 ), el Grassmanniano de 2 planos en un espacio complejo de 4 dimensiones. Esta es una compactificación del complejo espacio de Minkowski.
- Y es la variedad bandera cuyos elementos corresponden a una línea en un plano de C 4 .
- G es el grupo SL 4 ( C ) y H 1 y H 2 son los subgrupos parabólicos que fijan una línea o un plano que contiene esta línea.
Los mapas de Y a X y Z son las proyecciones naturales.
Transformación de Penrose-Ward
La transformada de Penrose-Ward es una modificación no lineal de la transformada de Penrose, introducida por Ward (1977) , que (entre otras cosas) relaciona paquetes de vectores holomórficos en el espacio proyectivo complejo tridimensional CP 3 con soluciones del auto-dual Yang-Mills ecuaciones en S 4 . Atiyah y Ward (1977) usaron esto para describir instantones en términos de paquetes de vectores algebraicos en complejos espacios proyectivos de 3 y Atiyah (1979) explicaron cómo esto podría usarse para clasificar instantones en 4 esferas.
Referencias
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