Un número de pentátopo es un número en la quinta celda de cualquier fila del triángulo de Pascal que comienza con la fila de 5 términos 1 4 6 4 1 , ya sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.
Los primeros números de este tipo son:
Los números de pentatopo pertenecen a la clase de números figurados , que pueden representarse como patrones geométricos discretos y regulares. [1]
Fórmula
La fórmula para el n -ésimo número de pentátopo está representada por el cuarto factorial ascendente de n dividido por el factorial de 4:
Los números de pentátopo también se pueden representar como coeficientes binomiales :
que es el número de cuádruples distintos que se pueden seleccionar de n + 3 objetos, y se lee en voz alta como " n más tres eligen cuatro".
Propiedades
Dos de cada tres números de pentátopo también son números pentagonales . Para ser precisos, el número de pentátopo (3 k - 2) es siempre el (3 k 2 - k/2) el número pentagonal y el número de pentatopo (3 k - 1) es siempre el ( 3 k 2 + k/2) número pentagonal. El número de pentatopo (3 k ) es el número pentagonal generalizado obtenido al tomar el índice negativo - 3 k 2 + k/2en la fórmula para números pentagonales. (Estas expresiones siempre dan números enteros ). [2]
La suma infinita de los recíprocos de todos los números de pentátopos es 4/3. [3] Esto se puede derivar utilizando series telescópicas .
Los números de pentatopo se pueden representar como la suma de los primeros n números tetraédricos : [2]
y también están relacionados con los números tetraédricos en sí mismos:
Ningún número primo es el predecesor de un número de pentátopo, y el semiprimo más grande que es el predecesor de un número de pentatopo es 1819.
De manera similar, los únicos números primos que preceden a un número 6 simplex son 83 y 461.
Prueba de números de pentátopos
Podemos derivar esta prueba de la fórmula para el n -ésimo número de pentátopo.
Dado un entero positivo x , para probar si es un número de pentátopo podemos calcular
- [ cita requerida ]
El número x es pentátopo si y solo si n es un número natural . En ese caso, x es el n -ésimo número de pentátopo.
Función generadora
La función generadora de números de pentátopos es [4]
Aplicaciones
En bioquímica , los números de pentátopos representan el número de posibles arreglos de n subunidades polipeptídicas diferentes en una proteína tetramérica (tetraédrica).
Referencias
- ^ Deza, Elena; Deza, M. (2012), "3.1 Números de pentatopo y sus análogos multidimensionales", Números figurados , World Scientific, p. 162, ISBN 9789814355483
- ^ a b Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000332" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Rockett, Andrew M. (1981), "Sumas de los inversos de los coeficientes binomiales" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 19 (5): 433–437. Teorema 2, pág. 435.
- ^ "Sitio Wolfram MathWorld" .