En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, una categoría de Krull-Schmidt es una generalización de categorías en las que se sostiene el teorema de Krull-Schmidt . Surgen, por ejemplo, en el estudio de módulos de dimensión finita sobre un álgebra .
Definición
Deje C ser una categoría de aditivos , o más generalmente un aditivo R categoría -linear para un anillo conmutativo R . Llamamos a C una categoría de Krull-Schmidt siempre que cada objeto se descomponga en una suma directa finita de objetos que tienen anillos de endomorfismo local. De manera equivalente, C tiene idempotentes divididos y el anillo de endomorfismo de cada objeto es semiperfecto .
Propiedades
Uno tiene el análogo del teorema de Krull-Schmidt en las categorías de Krull-Schmidt:
Un objeto se llama indecomponible si no es isomorfo a una suma directa de dos objetos distintos de cero. En una categoría de Krull-Schmidt tenemos que
- un objeto es indecomponible si y solo si su anillo de endomorfismo es local.
- todo objeto es isomorfo a una suma directa finita de objetos indecomponibles.
- Si donde el y son todos indescomponibles, entonces , y existe una permutación tal que por todo i .
Se puede definir el carcaj Auslander-Reiten de una categoría de Krull-Schmidt.
Ejemplos de
- Una categoría abeliana en la que cada objeto tiene una longitud finita . [1] Esto incluye como caso especial la categoría de módulos de dimensión finita sobre un álgebra.
- La categoría de módulos generados finitamente sobre un [2] R -álgebra finita , donde R es un anillo local completo conmutativo noetheriano . [3]
- La categoría de haces coherentes en una variedad completa sobre un campo algebraicamente cerrado . [4]
Un no ejemplo
La categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre los enteros tiene idempotentes divididos, y cada módulo es isomorfo a una suma directa finita de copias del módulo regular, el número viene dado por el rango . Por lo tanto, la categoría tiene una descomposición única en indecomponibles, pero no es Krull-Schmidt ya que el módulo regular no tiene un anillo de endomorfismo local.
Ver también
Notas
Referencias
- Michael Atiyah (1956) Sobre el teorema de Krull-Schmidt con aplicación a las gavillas Bull. Soc. Matemáticas. Francia 84 , 307–317.
- Henning Krause, categorías Krull-Remak-Schmidt y cubiertas proyectivas , mayo de 2012.
- Irving Reiner (2003) Órdenes máximas. Reimpresión corregida del original de 1975. Con prólogo de MJ Taylor. Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford. ISBN 0-19-852673-3 .
- Claus Michael Ringel (1984) Tame Algebras and Integral Quadratic Forms , Lecture Notes in Mathematics 1099 , Springer-Verlag, 1984.