En la rama del álgebra abstracta llamada teoría de anillos , el teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki conecta la condición de cadena descendente y la condición de cadena ascendente en módulos sobre anillos semiprimarios. Un anillo R (con 1) se llama semiprimario si R / J ( R ) es semisimple y J ( R ) es un ideal nilpotente , donde J ( R ) denota el radical de Jacobson . El teorema establece que si Res un anillo semiprimario y M es un módulo R , las tres condiciones del módulo Noetherian , Artinian y "tiene una serie de composición " son equivalentes. Sin la condición semiprimaria, la única implicación verdadera es que si M tiene una serie de composición, entonces M es tanto noetheriano como artiniano.
El teorema toma su forma actual de un artículo de Charles Hopkins y un artículo de Jacob Levitzki , ambos en 1939. Por esta razón, a menudo se lo cita como el teorema de Hopkins-Levitzki . Sin embargo, Yasuo Akizuki se incluye a veces, ya que demostró el resultado [1] para anillos conmutativos unos años antes, en 1935.
Como se sabe que los anillos artinianos rectos son semiprimarios, un corolario directo del teorema es: un anillo artiniano recto también es noetheriano correcto . La declaración análoga para los anillos artinianos izquierdos también es válida. Esto no es cierto en general para los módulos artinianos, porque hay ejemplos de módulos artinianos que no son noetherianos .
Otro corolario directo es que si R es Artiniano derecho, entonces R es Artiniano izquierdo si y solo si es Noetheriano izquierdo.
Boceto de prueba
Aquí está la prueba de lo siguiente: Sea R un anillo semiprimario y M un módulo R izquierdo . Si M es artiniano o noetheriano, entonces M tiene una serie de composición. [2] (Lo contrario es cierto en cualquier anillo).
Deje que J sea el radical de R . Colocar. El módulo R entonces puede ser visto como un -módulo porque J está contenido en el aniquilador de. Cadaes un semisimple -módulo, porque es un anillo semisimple. Además, dado que J es nilpotente, sólo un número finito de lasson distintos de cero. Si M es artiniano (o noetheriano), entoncestiene una serie de composición finita. Apilando la serie de composición delextremo a extremo, se obtiene una serie de composición para M .
En categorías de Grothendieck
Existen varias generalizaciones y extensiones del teorema. Una concierne a las categorías de Grothendieck : si G es una categoría de Grothendieck con un generador artiniano, entonces cada objeto artiniano en G es noetheriano. [3]
Ver también
Referencias
- ↑ Akizuki, Yasuo (1935). "Teilerkettensatz und Vielfachensatz" . Proc. Phys.-Math. Soc. Jpn . 17 : 337–345.
- ^ Cohn 2003 , Teorema 5.3.9
- ^ Toma Albu (2010). "Un jubileo de setenta años: el teorema de Hopkins-Levitzki" . En Toma Albu (ed.). Teoría de anillos y módulos . Saltador. ISBN 9783034600071.
- Cohn, PM (2003), Álgebra básica: grupos, anillos y campos
- Charles Hopkins (1939) Anillos con condición mínima para ideales de izquierda , Ann. de Matemáticas. (2) 40, páginas 712–730.
- TY Lam (2001) Un primer curso en anillos no conmutativos , Springer-Verlag. página 55 ISBN 0-387-95183-0
- Jakob Levitzki (1939) Sobre anillos que satisfacen la condición mínima para los ideales de la mano derecha , Compositio Mathematica, v. 7, págs. 214-222.