Capa perfectamente combinada

Un esquema FDTD para un problema de dispersión de luz . Los bordes rayados corresponden a capas perfectamente emparejadas, que se utilizan para simular límites abiertos absorbiendo las ondas salientes.

Una capa perfectamente emparejada ( PML ) es una capa absorbente artificial para ecuaciones de onda , comúnmente utilizada para truncar regiones computacionales en métodos numéricos para simular problemas con límites abiertos, especialmente en los métodos FDTD y FE . ^{[1] [2]} La propiedad clave de un PML que lo distingue de un material absorbente ordinario es que está diseñado para que las ondas que inciden sobre el PML desde un medio que no es PML no se reflejen en la interfaz; esta propiedad permite el PML para absorber fuertemente las ondas salientes del interior de una región computacional sin reflejarlas de regreso al interior.

PML fue formulado originalmente por Berenger en 1994 ^[3] para su uso con las ecuaciones de Maxwell , y desde ese momento ha habido varias reformulaciones relacionadas de PML tanto para las ecuaciones de Maxwell como para otras ecuaciones de tipo onda, como la elastodinámica, ^[4] el linealizado Ecuaciones de Euler, ecuaciones de Helmholtz y poroelasticidad. La formulación original de Berenger se llama PML de campo dividido , porque divide los campos electromagnéticos en dos campos no físicos en la región de PML. Una formulación posterior que se ha vuelto más popular debido a su simplicidad y eficiencia se llama PML uniaxial o UPML , ^[5]en el que la PML se describe como un material absorbente anisotrópico artificial . Aunque tanto la formulación de Berenger como la UPML se derivaron inicialmente construyendo manualmente las condiciones bajo las cuales las ondas planas incidentes no se reflejan en la interfaz PML de un medio homogéneo, más tarde se demostró que ambas formulaciones eran equivalentes a un enfoque mucho más elegante y general: estirado- coordinar PML . ^{[6] [7]} En particular, se demostró que las PML corresponden a una transformación de coordenadas en la que una (o más) coordenadas se asignan a números complejos ; más técnicamente, esto es en realidad una continuación analíticade la ecuación de onda en coordenadas complejas, reemplazando las ondas que se propagan (oscilantes) por ondas que decaen exponencialmente . Este punto de vista permite derivar PML para medios no homogéneos como guías de ondas , así como para otros sistemas de coordenadas y ecuaciones de ondas. ^{[8] [9]}

Descripción técnica

Reproducir medios

Absorción de una onda esférica pulsada a través de PML de coordenadas estiradas en el método 2D FDTD. El borde blanco indica el límite de la simulación.

Específicamente, para un PML diseñado para absorber ondas que se propagan en la dirección x , la siguiente transformación se incluye en la ecuación de ondas. Siempre que aparece una derivada x en la ecuación de onda, se reemplaza por:${\displaystyle \partial /\partial x}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\to {\frac {1}{1+{\frac {i\sigma (x)}{\omega }}}}{\frac {\partial }{\partial x}}}$

donde es la frecuencia angular y es alguna función de x . Donde sea ​​positivo, las ondas de propagación se atenúan porque:${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}\to e^{i(kx-\omega t)-{\frac {k}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'},}$

donde tomamos una onda plana que se propaga en la dirección + x (para ) y aplicamos la transformación (continuación analítica) a coordenadas complejas:, o equivalentemente . La misma transformación de coordenadas hace que las ondas se atenúen siempre que su dependencia x tenga la forma de alguna constante de propagación k : esto incluye ondas planas que se propagan en algún ángulo con el eje x y también modos transversales de una guía de ondas.${\displaystyle k>0}$${\displaystyle x\to x+{\frac {i}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'}$${\displaystyle dx\to dx(1+i\sigma /\omega )}$${\displaystyle e^{ikx}}$

La transformación de coordenadas anterior se puede dejar como está en las ecuaciones de onda transformadas, o se puede combinar con la descripción del material (por ejemplo, la permitividad y la permeabilidad en las ecuaciones de Maxwell) para formar una descripción UPML. El coeficiente σ / ω depende de la frecuencia; es decir, la tasa de atenuación es proporcional a k / ω, que es independiente de la frecuencia en un material homogéneo (sin incluir la dispersión del material , por ejemplo, para el vacío ) debido a la relación de dispersión entre ω y k . Sin embargo, esta dependencia de la frecuencia significa que una implementación de PML en el dominio del tiempo , por ejemplo, en el FDTDmétodo, es más complicado que para un absorbedor independiente de la frecuencia, e involucra el enfoque de ecuación diferencial auxiliar (ADE) (de manera equivalente, i / ω aparece como una integral o convolución en el dominio del tiempo).

Las capas perfectamente emparejadas, en su forma original, solo atenúan las ondas que se propagan; Las ondas puramente evanescentes (campos que decaen exponencialmente) oscilan en la PML pero no decaen más rápidamente. Sin embargo, la atenuación de las ondas evanescentes también se puede acelerar al incluir un estiramiento de coordenadas real en el PML: esto corresponde a hacer que σ en la expresión anterior sea un número complejo , donde la parte imaginaria produce un estiramiento de coordenadas real que hace que las ondas evanescentes decaigan más. rápidamente.

Limitaciones de capas perfectamente emparejadas

La PML se utiliza ampliamente y se ha convertido en la técnica de límites absorbentes de elección en gran parte del electromagnetismo computacional. ^[1] Aunque funciona bien en la mayoría de los casos, hay algunos casos importantes en los que se rompe, sufriendo reflejos inevitables o incluso un crecimiento exponencial.

Una advertencia con las capas perfectamente emparejadas es que solo no tienen reflejos para la ecuación de onda continua exacta . Una vez que la ecuación de onda se discretiza para la simulación en una computadora, aparecen algunas pequeñas reflexiones numéricas (que desaparecen al aumentar la resolución). Por esta razón, el coeficiente de absorción de PML σ normalmente se activa gradualmente desde cero (por ejemplo, cuadráticamente ) en una distancia corta en la escala de la longitud de onda de la onda. ^[1]En general, cualquier absorbente, ya sea PML o no, no refleja reflejos en el límite donde se enciende de manera suficientemente gradual (y la capa absorbente se vuelve más gruesa), pero en un sistema discretizado, el beneficio de PML es reducir la "transición" de espesor finito. Reflexión en muchos órdenes de magnitud en comparación con un coeficiente de absorción isotrópico simple. ^[10]

En ciertos materiales, existen soluciones de "onda hacia atrás" en las que la velocidad de grupo y de fase son opuestas entre sí. Esto ocurre en metamateriales de índice negativo "zurdos" para el electromagnetismo y también para las ondas acústicas en ciertos materiales sólidos, y en estos casos la formulación estándar de PML es inestable: conduce a un crecimiento exponencial en lugar de decaimiento, simplemente porque el signo de k es volteado en el análisis anterior. ^[11] Afortunadamente, existe una solución simple en un medio para zurdos (para el cual todas las ondas están al revés): simplemente invierta el signo de σ. Sin embargo, una complicación es que los materiales físicos para zurdos son dispersivos.: solo son zurdos dentro de un cierto rango de frecuencia y, por lo tanto, el coeficiente σ debe hacerse dependiente de la frecuencia. ^{[12] [13]} Desafortunadamente, incluso sin materiales exóticos, uno puede diseñar ciertas estructuras de guía de ondas (tales como un tubo de metal hueco con un cilindro de alto índice en su centro) que exhiben ambas soluciones backwards- y hacia delante de la onda en la misma frecuencia , de modo que cualquier elección de signo para σ conducirá a un crecimiento exponencial y, en tales casos, la PML parece ser irrecuperablemente inestable. ^[14]

Otra limitación importante de PML es que requiere que el medio sea invariante en la dirección ortogonal al límite, a fin de apoyar la continuación analítica de la solución a coordenadas complejas (el complejo "estiramiento de coordenadas"). Como consecuencia, el enfoque PML ya no es válido (ya no es sin reflejos a resolución infinita) en el caso de medios periódicos (por ejemplo, cristales fotónicos o cristales fonónicos ) ^[10] o incluso simplemente una guía de ondas que ingresa al límite en un ángulo oblicuo. ^[15]

Ver también

• Método Cagniard-de Hoop

Referencias

1. Allen Taflove y Susan C. Hagness (2005). Electrodinámica computacional: el método del dominio del tiempo de diferencias finitas, 3ª ed . Editores de Artech House. ISBN 978-1-58053-832-9.
2. SG Johnson, Notas sobre capas perfectamente emparejadas , notas del curso en línea del MIT (agosto de 2007).
3. J. Berenger (1994). "Una capa perfectamente combinada para la absorción de ondas electromagnéticas". Revista de Física Computacional . 114 (2): 185–200. Código bibliográfico : 1994JCoPh.114..185B . doi : 10.1006 / jcph.1994.1159 .
4. Fathi, Arash; Poursartip, Babak; Kallivokas, Loukas (2015). "Formulaciones híbridas en el dominio del tiempo para simulaciones de ondas en medios heterogéneos truncados de PML tridimensionales". Revista Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería . 101 (3): 165–198. Código bibliográfico : 2015IJNME.101..165F . doi : 10.1002 / nme.4780 .
5. SD Gedney (1996). "Un medio absorbente de capa anisotrópico perfectamente emparejado para el truncamiento de látex FDTD". Transacciones IEEE sobre antenas y propagación . 44 (12): 1630–1639. Código Bibliográfico : 1996ITAP ... 44.1630G . doi : 10.1109 / 8.546249 .
6. WC Chew y WH Weedon (1994). "Un medio 3d perfectamente emparejado de las ecuaciones de Maxwell modificadas con coordenadas estiradas". Tecnología óptica de microondas. Cartas . 7 (13): 599–604. Código bibliográfico : 1994MiOTL ... 7..599C . doi : 10.1002 / mop.4650071304 .
7. FL Teixeira WC Chew (1998). "Tensores constitutivos PML de forma cerrada general para coincidir con medios lineales dispersivos y bianisotrópicos arbitrarios". Letras de onda guiada y microondas IEEE . 8 (6): 223–225. doi : 10.1109 / 75.678571 .
8. V. Kalvin (2012). "Principio de limitación de la absorción y método de capa perfectamente emparejado para Dirichlet Laplacian en dominios cuasicilíndricos". SIAM J. Math. Anal . 44 : 355–382. arXiv : 1110.4912 . doi : 10.1137 / 110834287 .
9. V. Kalvin (2013). "Análisis de operadores de capa perfectamente emparejados para la dispersión acústica en colectores con extremos cuasicilíndricos". J. Math. Pures Appl . 100 (2): 204–219. arXiv : 1212.5707 . doi : 10.1016 / j.matpur.2012.12.001 .
10. A. F. Oskooi, L. Zhang, Y. Avniel y SG Johnson, El fracaso de capas perfectamente emparejadas y hacia su redención por absorbentes adiabáticos , Optics Express 16 , 11376-11392 (2008).
11. E. Bécache, S. Fauqueux y P. Joly (2003). "Estabilidad de capas perfectamente emparejadas, velocidades de grupo y ondas anisotrópicas". Revista de Física Computacional . 188 (2): 399–433. Código Bibliográfico : 2003JCoPh.188..399B . doi : 10.1016 / S0021-9991 (03) 00184-0 . [1]
12. Cummer Steven A (2004). "Comportamiento de capa perfectamente emparejado en materiales de índice de refracción negativo". IEEE Ant. Prop. Inalámbrico Lett . 3 : 172-175. doi : 10.1109 / lawp.2004.833710 .
13. Dong XT, Rao XS, Gan YB, Guo B., Yin W.-Y. (2004). "Condición de contorno de absorción de capa perfectamente adaptada para materiales para zurdos". Componentes inalámbricos de microondas IEEE Lett . 14 : 301–333. doi : 10.1109 / lmwc.2004.827104 .
14. Loh P.-R., Oskooi AF, Ibanescu M., Skorobogatiy M., Johnson SG (2009). "Relación fundamental entre fase y velocidad de grupo, y aplicación al fallo de capas perfectamente emparejadas en estructuras de onda hacia atrás" (PDF) . Phys. Rev. E . 79 : 065601. doi : 10.1103 / physreve.79.065601 . hdl : 1721,1 / 51780 .
15. Oskooi A., Johnson SG (2011). "Distinguir propuestas PML correctas de incorrectas y una PML no dividida corregida para medios dispersivos anisotrópicos" (PDF) . Revista de Física Computacional . 230 : 2369–2377. doi : 10.1016 / j.jcp.2011.01.006 .

enlaces externos

• Animación sobre los efectos de la leucoencefalopatía multifocal progresiva (YouTube)