En matemáticas , los espacios perfectidos son espacios ádicos de tipo especial, que ocurren en el estudio de problemas de " característica mixta ", como los campos locales de característica cero que tienen campos residuales de característica prima p .
Un campo perfectoide es un campo topológico completo K cuya topología es inducida por una valoración no discreta de rango 1, tal que el endomorfismo de Frobenius Φ es sobreyectivo en K ° / p donde K ° denota el anillo de elementos delimitados por potencia.
Los espacios perfectos pueden usarse para (y fueron inventados para) comparar situaciones características mixtas con características puramente finitas. Las herramientas técnicas para hacer esto preciso son la equivalencia de inclinación y el teorema de casi pureza. Las nociones fueron introducidas en 2012 por Peter Scholze . [1]
Equivalencia inclinable
Para cualquier campo perfectoide K hay una inclinación K ♭ , que es un campo perfectoide de característica finita p . Como conjunto, puede definirse como
Explícitamente, un elemento de K ♭ es una secuencia infinita ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) de elementos de K tal que x i = xp
i + 1. La multiplicación en K ♭ se define por términos, la suma es más complicada. Si K tiene una característica finita, entonces K ≅ K ♭ . Si K es la terminación p -ádica de, entonces K ♭ es la terminación t -ádica de.
Hay nociones de álgebras perfectoides y espacios perfectoides sobre un campo perfectoides K , aproximadamente análogas a las álgebras conmutativas y esquemas sobre un campo. La operación de inclinación se extiende a estos objetos. Si X es un espacio perfectoide sobre un campo perfectoide K , entonces se puede formar un espacio perfectoide X ♭ sobre K ♭ . La equivalencia basculante es un teorema de que el functor basculante (-) ♭ induce una equivalencia de categorías entre espacios perfectoid sobre K y espacios perfectoid sobre K ♭ . Tenga en cuenta que, si bien un campo perfectoido de característica finita puede tener varios "hastats" no isomórficos, las categorías de espacios perfectoido sobre ellos serían todos equivalentes.
Teorema de casi pureza
Esta equivalencia de categorías respeta algunas propiedades adicionales de los morfismos. Muchas propiedades de los morfismos de los esquemas tienen análogos a los morfismos de los espacios ádicos. El teorema de casi pureza para espacios perfectos se refiere a morfismos étale finitos . Es una generalización del teorema de la casi pureza de Faltings en la teoría p -ádica de Hodge . El nombre alude casi a las matemáticas , que se utilizan en una demostración, y un teorema clásico lejanamente relacionado sobre la pureza del lugar geométrico de las ramas . [2]
La declaración tiene dos partes. Sea K un campo perfectoid.
- Si X → Y es un morfismo étale finito de espacios ádicos sobre K e Y es perfectoid, entonces X también es perfectoid;
- Un morfismo X → Y de espacios perfectos sobre K es étale finito si y solo si la inclinación X ♭ → Y ♭ es étale finita sobre K ♭ .
Dado que los mapas de étale finitos en un campo son exactamente extensiones de campo separables finitas , el teorema de casi pureza implica que para cualquier campo perfectoide K los grupos absolutos de Galois de K y K ♭ son isomorfos.
Ver también
Referencias
- ^ Scholze, Peter (2012). "Espacios perfectos". Publ. Matemáticas. Inst. Hautes Études Sci . 116 : 245–313. arXiv : 1111.4914 . doi : 10.1007 / s10240-012-0042-x . ISSN 0073-8301 . Zbl 1263.14022 .
- ^ Peter Scholze. "¿Por qué el" teorema de casi pureza "de Faltings es un teorema de pureza? . Consultado el 6 de diciembre de 2017 .
enlaces externos
- Bhatt, Bhargav. "¿Qué es un ... Espacio Perfectoide?" (PDF) . Boletín de la AMS . Consultado el 2 de enero de 2020 .
- "¿Qué son los" espacios perfectos "?" . MathOverflow .
- Fundamentos de espacios perfectos por Matthew Morrow
- Espacios perfectos esbeltos . La definición de espacios perfectos formalizada en el demostrador del teorema Lean