Casi anillo

En matemáticas , casi módulos y casi anillos son ciertos objetos que se interpolan entre anillos y sus campos de fracciones . Fueron introducidos por Gerd Faltings ( 1988 ) en su estudio de la teoría p -adic Hodge .

Sea V un dominio integral local con el ideal máximo m , y K un cuerpo fraccionario de V . La categoría de K - módulos , K - Mod , puede obtenerse como cociente de V - Mod por la subcategoría Serre de módulos de torsión , es decir, aquellos N tales que cualquier elemento n en N es aniquilado por algún elemento distinto de cero en el ideal maximal. Si la categoría de módulos de torsión se reemplaza por una subcategoría más pequeña , obtenemos un paso intermedio entre los módulos V y los módulos K. Faltings propuso utilizar la subcategoría de casi cero módulos, es decir, N ∈ V - Mod tal que cualquier elemento n en N es aniquilado por todos los elementos del ideal maximal.

Para que esta idea funcione, m y V deben satisfacer ciertas condiciones técnicas. Sea V un anillo (no necesariamente local) y m ⊆ V un ideal idempotente , es decir, un ideal tal que m ² = m . Suponga también que m ⊗ m es un V -módulo plano . Un módulo N sobre V es casi cero con respecto a tal m si para todo ε ∈ m y n ∈ Ntenemos εn = 0. Casi cero módulos forman una subcategoría Serre de la categoría de módulos V. La categoría de casi módulos V , V ^a - Mod , es una localización de V - Mod a lo largo de esta subcategoría.

El funtor cociente V - Mod → V ^a - Mod se denota por . Las suposiciones sobre m garantizan que es un funtor exacto que tiene tanto el funtor adjunto derecho como el funtor adjunto izquierdo . Además, es completo y fiel . La categoría de casi módulos es completa y cocompleta . $N\mapsto N^{a}$ ${\ estilo de visualización (-) ^ {a}}$ $M\mapsto M_{*}$ $M\mapsto M_{!}$ ${\ estilo de visualización (-) _ {*}}$

El producto tensorial de V -módulos desciende a una estructura monoide en V ^a - Mod . Un casi módulo R ∈ V ^a - Mod con un mapa R ⊗ R → R que satisface las condiciones naturales, similar a una definición de un anillo, se denomina casi V - álgebra o casi anillo si el contexto no es ambiguo. Muchas propiedades estándar de álgebras y morfismos entre ellas llevan al mundo "casi".