En el campo matemático de la geometría algebraica , la pureza es un tema que abarca una serie de resultados y conjeturas, que abordan colectivamente la cuestión de demostrar que "cuando algo sucede, sucede en una codimensión particular ".
Pureza del lugar de las ramas
Por ejemplo, la ramificación es un fenómeno de codimensión 1 (en la geometría de variedades complejas , reflejando como para las superficies de Riemann que se ramifican en puntos únicos que ocurre en la codimensión dos real). Un resultado clásico, la pureza de Zariski-Nagata de Masayoshi Nagata y Oscar Zariski , [1] [2] también llamada pureza del lugar de la rama , demuestra que en una variedad algebraica no singular un lugar de la rama , es decir, el conjunto de puntos en los que un el morfismo se ramifica, debe estar compuesto puramente por subvariedades de codimensión 1 (un divisor de Weil ). Ha habido numerosas extensiones de este resultado en teoremas de álgebra conmutativa y teoría de esquemas , estableciendo la pureza del lugar geométrico de la rama en el sentido de descripción de las restricciones sobre los posibles "subconjuntos abiertos de falla" para ser un morfismo étale .
Pureza cohomológica
También hay una noción homológica de pureza que está relacionada, a saber, una colección de resultados que indican que los grupos de cohomología de una teoría particular son triviales con la posible excepción de un índice i . Estos resultados fueron establecidos en étale cohomology por Michael Artin (incluido en SGA 4 ), y fueron fundamentales para establecer la teoría para contener análogos esperados de los resultados de la cohomología singular . Ofer Gabber demostró una afirmación general de Alexander Grothendieck conocida como la conjetura de la pureza cohomológica absoluta . [3] Se trata de una inmersión cerrada de esquemas (regular, noetheriano) que es puramente de codimensión d , y la cohomología local relativa en la teoría étale. Con coeficientes mod n donde n es invertible, la cohomología debería ocurrir solo con el índice 2 d (y tomar un valor predicho). [4]
Notas
- ^ "SOBRE LA PUREZA DE LA SUCURSAL LOCUS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 44 (8): 791–6. Agosto de 1958. doi : 10.1073 / pnas.44.8.791 . PMC 534562 . PMID 16590274 .
- ^ "OBSERVACIONES SOBRE UN PAPEL DE ZARISKI SOBRE LA PUREZA DE RAMA-LOCI" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 44 (8): 796–9. Agosto de 1958. doi : 10.1073 / pnas.44.8.796 . PMC 534563 . PMID 16590275 .
- ^ K. Fujiwara, Una prueba de la conjetura de pureza absoluta (después de Gabber) . Geometría algebraica 2000, Azumino (Hotaka), 153–183.
- ^ Como se formula en http://www.math.utah.edu/~niziol/icm20062.pdf , p. 4.