Un número primo permutable , también conocido como primo anagramático , es un número primo que, en una base determinada , puede cambiar las posiciones de sus dígitos mediante cualquier permutación y seguir siendo un número primo. HE Richert , quien supuestamente es el primero en estudiar estos números primos, los llamó primos permutables, [1] pero más tarde también fueron llamados primos absolutos . [2]
No. de términos conocidos | 20 [ verificación necesaria ] [ cita necesaria ] |
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Conjeturaba que no. de términos | Infinito |
Primeros términos | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199 |
Término más grande conocido | (10 270343 -1) / 9 |
Índice OEIS |
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En base 10 , se conocen todos los primos permutables con menos de 49,081 dígitos.
- 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 199 , 311, 337, 373, 733, 919, 991, R 19 (1111111111111111111), R 23 , R 317 , R 1031 , ... (secuencia A003459 en la OEIS )
De los anteriores, hay 16 conjuntos de permutación únicos, con elementos más pequeños
- 2, 3, 5, 7, R 2 , 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R 19 , R 23 , R 317 , R 1031 , ... (secuencia A258706 en la OEIS )
Tenga en cuenta R n =es un repunit , un número que consta solo de n unos (en base 10 ). Cualquier primo repunit es un primo permutable con la definición anterior, pero algunas definiciones requieren al menos dos dígitos distintos. [3]
Todos los números primos permutables de dos o más dígitos se componen de los dígitos 1, 3, 7, 9, porque ningún número primo excepto el 2 es par, y ningún número primo además del 5 es divisible por 5. Está probado [4] que ningún número primo existe primo que contiene tres diferentes de los cuatro dígitos 1, 3, 7, 9, así como que no existe un primo permutable compuesto por dos o más de cada uno de los dos dígitos seleccionados entre 1, 3, 7, 9.
No hay un número primo permutable de n dígitos para 3 < n <6 · 10 175 que no es una repetición. [1] Se conjetura que no hay primos permutables no repunit distintos de los enumerados anteriormente.
En base 2, solo los repunits pueden ser primos permutables, porque cualquier 0 permutado al lugar de las unidades da como resultado un número par. Por lo tanto, los primos permutables de base 2 son los primos de Mersenne . Se puede generalizar con seguridad que para cualquier sistema numérico posicional , los números primos permutables con más de un dígito solo pueden tener dígitos coprime con la base del sistema numérico. Los números primos de un dígito, es decir, cualquier número primo debajo de la base, son siempre trivialmente permutables.
En base 12 , se conocen los elementos más pequeños de los conjuntos de permutación únicos de los números primos permutables con menos de 9,739 dígitos (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)
- 2, 3, 5, 7, Ɛ, R 2 , 15, 57, 5Ɛ, R 3 , 117, 11Ɛ, 555Ɛ, R 5 , R 17 , R 81 , R 91 , R 225 , R 255 , R 4 ᘔ 5 ,. ..
No hay un número primo permutable de n dígitos en la base 12 para 4 < n <12 144 que no es una repetición. Se conjetura que no hay primos permutables no repunit en base 12 distintos de los enumerados anteriormente.
En base 10 y base 12, cada primo permutable es un repunit o un casi repdigit, es decir, es una permutación del entero P ( b , n , x , y ) = xxxx ... xxxy b ( n dígitos, en la base b ) donde x y y son dígitos que es primos entre sí a b . Además, x y y debe ser también primos entre sí (ya que si hay es un número primo p divide tanto x y Y , a continuación, p también divide el número), así que si x = y , a continuación, x = y = 1. (Esto no es cierto en todas las bases, pero las excepciones son raras y podrían ser finitas en cualquier base dada; las únicas excepciones por debajo de 10 9 en bases hasta 20 son: 139 11 , 36A 11 , 247 13 , 78A 13 , 29E 19 (M. Fiorentini, 2015) .)
Sea P ( b , n , x , y ) un primo permutable en la base b y sea p un primo tal que n ≥ p . Si b es una raíz primitiva de p , y p no divide x o | x - y |, entonces n es un múltiplo de p - 1. (Dado que b es una raíz primitiva mod p y p no divide | x - y |, los números p son xxxx ... xxxy , xxxx ... xxyx , xxxx ... xyxx , ..., xxxx ... xyxx ... xxxx (solo el dígito b p −2 es y , los demás son todos x ), xxxx ... yxxx ... xxxx (solo el b p −1 dígito es y , otros son todos x ), xxxx ... xxxx (el repdigit con n x s) mod p son todos diferentes. Es decir, uno es 0, otro es 1, otro es 2, ..., el otro es p - 1. Por lo tanto, dado que los primeros p - 1 números son todos primos, el último número (el repdigito con n x s) debe ser divisible por p . Dado que p no divide x , entonces p debe dividir el repunit con n 1s. Dado que b es una raíz primitiva mod p , el orden multiplicativo de n mod p es p - 1. Por lo tanto, n debe ser divisible por p - 1)
Por tanto, si b = 10, los dígitos coprimidos a 10 son {1, 3, 7, 9}. Dado que 10 es una raíz primitiva mod 7, entonces si n ≥ 7, entonces 7 divide x (en este caso, x = 7, ya que x ∈ {1, 3, 7, 9}) o | x - y | (en este caso, x = y = 1, ya que x , y . ∈ {1, 3, 7, 9} Es decir, el Prime es un repunit) o n es un múltiplo de 7 - 1 = 6. Del mismo modo, desde 10 es una raíz primitiva mod 17, así que si n ≥ 17, entonces 17 divide x (no es posible, ya que x ∈ {1, 3, 7, 9}) o | x - y | (en este caso, x = y = 1, ya que x , y . ∈ {1, 3, 7, 9} Es decir, el primo es un repunit) o n es un múltiplo 17 - 1 = 16. Además, 10 es también una raíz primitiva mod 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, ..., entonces n ≥ 17 es muy imposible (ya que para esto primos p , si n ≥ p , entonces n es divisible por p - 1), y si 7 ≤ n <17, entonces x = 7, on es divisible por 6 (el único n posible es 12). Si b = 12, los dígitos coprimidos a 12 son {1, 5, 7, 11}. Dado que 12 es una raíz primitiva mod 5, entonces si n ≥ 5, entonces 5 divide x (en este caso, x = 5, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o | x - y | (en este caso, x = y = 1 (es decir, el primo es una repunidad) o x = 1, y = 11 o x = 11, y = 1, ya que x , y ∈ {1, 5, 7, 11}.) On es un múltiplo de 5 - 1 = 4. De manera similar, dado que 12 es una raíz primitiva mod 7, entonces si n ≥ 7, entonces 7 divide x (en este caso, x = 7, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o | x - y | (en este caso, x = y = 1, ya que x , y . ∈ {1, 5, 7, 11} Esto es, el Prime es un repunit) o n es un múltiplo de 7 - 1 = 6. Del mismo modo, desde 12 es una raíz primitiva mod 17, por lo que si n ≥ 17, entonces 17 divide x (no es posible, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o | x - y | (en este caso, x = y = 1, ya que x , y . ∈ {1, 5, 7, 11} Esto es, el primo es un repunit) o n es un múltiplo 17 - 1 = 16. Además, 12 también es una raíz primitiva mod 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, ..., entonces n ≥ 17 es muy imposible ( ya que para esto primos p , si n ≥ p , entonces n es divisible por p - 1), y si 7 ≤ n <17, entonces x = 7 (en este caso, dado que 5 no divide x o x - y , entonces n debe ser divisible entre 4) o n es divisible entre 6 (el único n posible es 12).
Referencias
- ↑ a b Richert, Hans-Egon (1951). "En primtall permutable". Norsk Matematiske Tiddskrift . 33 : 50–54. Zbl 0054.02305 .
- ^ Bhargava, TN; Doyle, PH (1974). "Sobre la existencia de números primos absolutos". Matemáticas. Mag . 47 (4): 233. doi : 10.1080 / 0025570X.1974.11976408 . Zbl 0293.10006 .
- ↑ Chris Caldwell, The Prime Glossary: primo permutable en The Prime Pages .
- ^ AW Johnson, "Primos absolutos", Revista de matemáticas 50 (1977), 100-103.