La notación posicional (o notación de valor posicional o sistema numérico posicional ) denota generalmente la extensión a cualquier base del sistema numérico hindú-árabe (o sistema decimal ). De manera más general, un sistema posicional es un sistema numérico en el que la contribución de un dígito al valor de un número es el valor del dígito multiplicado por un factor determinado por la posición del dígito. En los primeros sistemas numéricos , como los números romanos , un dígito tiene solo un valor: I significa uno, X significa diez y C cien (sin embargo, el valor puede ser negado si se coloca antes de otro dígito). En los sistemas posicionales modernos, como elsistema decimal , la posición del dígito significa que su valor debe ser multiplicado por algún valor: en 555, los tres símbolos idénticos representan cinco centenas, cinco decenas y cinco unidades, respectivamente, debido a sus diferentes posiciones en la cadena de dígitos.
El sistema numérico babilónico , base 60, fue el primer sistema posicional desarrollado, y su influencia está presente hoy en la forma en que el tiempo y los ángulos se cuentan en cuentas relacionadas con 60, como 60 minutos en una hora, 360 grados en un círculo. Hoy en día, el sistema numérico hindú-árabe ( base diez ) es el sistema más utilizado en todo el mundo. Sin embargo, el sistema de numeración binario (base dos) se usa en casi todas las computadoras y dispositivos electrónicos porque es más fácil de implementar de manera eficiente en circuitos electrónicos .
Se han descrito sistemas con base negativa, base compleja o dígitos negativos (consulte la sección Sistemas numéricos posicionales no estándar ). La mayoría de ellos no requieren un signo menos para designar números negativos.
El uso de un punto de base ( punto decimal en base diez), se extiende para incluir fracciones y permite representar cada número real hasta una precisión arbitraria. Con la notación posicional, los cálculos aritméticos son mucho más simples que con cualquier sistema numérico anterior, y esto explica la rápida difusión de la notación cuando se introdujo en Europa occidental.
Historia
Hoy en día, el sistema de base 10 ( decimal ), que presumiblemente está motivado por contar con los diez dedos , es omnipresente. Otras bases se han utilizado en el pasado y algunas continúan utilizándose en la actualidad. Por ejemplo, el sistema de numeración babilónico , acreditado como el primer sistema de numeración posicional, era de base 60 . Sin embargo, carecía de un 0 real. Inicialmente inferido sólo del contexto, más tarde, alrededor del 700 aC, el cero llegó a ser indicado por un "espacio" o un "símbolo de puntuación" (como dos cuñas inclinadas) entre números. [1] Era un marcador de posición en lugar de un verdadero cero porque no se usó solo. Tampoco se usó al final de un número. Números como 2 y 120 (2 × 60) parecían iguales porque el número más grande carecía de un marcador de posición final. Solo el contexto podría diferenciarlos.
El erudito Arquímedes (ca. 287-212 a. C.) inventó un sistema posicional decimal en su Sand Reckoner que se basaba en 10 8 [2] y más tarde llevó al matemático alemán Carl Friedrich Gauss a lamentar las alturas que la ciencia ya habría alcanzado en sus días. si Arquímedes se hubiera dado cuenta plenamente del potencial de su ingenioso descubrimiento. [3]
Antes de que la notación posicional se convirtiera en estándar, se usaban sistemas aditivos simples ( notación de valor de signo ) como los números romanos , y los contadores en la antigua Roma y durante la Edad Media usaban el ábaco o contadores de piedra para hacer aritmética. [4]
Se han utilizado varillas de conteo y la mayoría de los ábacos para representar números en un sistema de numeración posicional. Con varillas de conteo o ábaco para realizar operaciones aritméticas, la escritura de los valores inicial, intermedio y final de un cálculo se podría realizar fácilmente con un simple sistema aditivo en cada posición o columna. Este enfoque no requería la memorización de tablas (al igual que la notación posicional) y podía producir resultados prácticos rápidamente. Durante cuatro siglos (del siglo XIII al XVI) hubo un fuerte desacuerdo entre quienes creían en adoptar el sistema posicional al escribir números y quienes querían quedarse con el sistema aditivo más ábaco. Aunque las calculadoras electrónicas han reemplazado en gran medida al ábaco, este último sigue utilizándose en Japón y otros países asiáticos. [ cita requerida ]
Después de la Revolución Francesa (1789-1799), el nuevo gobierno francés promovió la extensión del sistema decimal. [5] Algunos de esos esfuerzos pro-decimal, como el tiempo decimal y el calendario decimal, no tuvieron éxito. Otros esfuerzos franceses pro decimales — decimalización de la moneda y la medición de pesos y medidas — se extendieron ampliamente fuera de Francia a casi todo el mundo.
Historia de las fracciones posicionales
J. Lennart Berggren señala que las fracciones decimales posicionales fueron utilizadas por primera vez por el matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X. [6] El matemático judío Immanuel Bonfils usó fracciones decimales alrededor de 1350, pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. [7] El matemático persa Jamshīd al-Kāshī hizo el mismo descubrimiento de las fracciones decimales en el siglo XV. [6] Al Khwarizmi introdujo fracciones en los países islámicos a principios del siglo IX; su presentación de fracciones era similar a las fracciones matemáticas tradicionales chinas de Sunzi Suanjing . [8] Esta forma de fracción con numerador en la parte superior y denominador en la parte inferior sin una barra horizontal también fue utilizada por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi del siglo X y la obra "Clave aritmética" de Jamshīd al-Kāshī del siglo XV . [8] [9]
La adopción de la representación decimal de números menores que uno, una fracción , a menudo se le atribuye a Simon Stevin a través de su libro de texto De Thiende ; [10] pero tanto Stevin como EJ Dijksterhuis indican que Regiomontanus contribuyó a la adopción europea de decimales generales : [11]
- Los matemáticos europeos, al tomar el relevo de los hindúes, a través de los árabes, la idea del valor posicional de los números enteros, descuidaron extender esta idea a las fracciones. Durante algunos siglos se limitaron a utilizar fracciones comunes y sexagesimales ... Esta desgana nunca ha sido superada por completo, y las fracciones sexagesimales siguen formando la base de nuestra trigonometría, astronomía y medición del tiempo. ¶ ... Los matemáticos buscaron evitar las fracciones tomando el radio R igual a un número de unidades de longitud de la forma 10 n y luego asumiendo para n un valor integral tan grande que todas las cantidades que ocurran pudieran expresarse con suficiente precisión mediante números enteros. ¶ El primero en aplicar este método fue el astrónomo alemán Regiomontanus. En la medida en que expresó segmentos de línea goniométricos en una unidad R / 10 n , Regiomontanus puede ser llamado un anticipador de la doctrina de las fracciones posicionales decimales. [11] : 17,18
En la estimación de Dijksterhuis, "después de la publicación de De Thiende sólo se requirió un pequeño avance para establecer el sistema completo de fracciones decimales posicionales, y este paso fue dado rápidamente por varios escritores ... junto a Stevin, la figura más importante en este desarrollo fue Regiomontanus ". Dijksterhuis señaló que [Stevin] "le da todo el crédito a Regiomontanus por su contribución anterior, diciendo que las tablas trigonométricas del astrónomo alemán en realidad contienen la teoría completa de 'números del décimo progreso'". [11] : 19
Asuntos
Un argumento clave contra el sistema posicional fue su susceptibilidad al fraude fácil simplemente poniendo un número al principio o al final de una cantidad, cambiando así (por ejemplo) 100 en 5100 o 100 en 1000. Los cheques modernos requieren una ortografía en lenguaje natural de un monto, así como el monto decimal en sí, para prevenir tal fraude. Por la misma razón, los chinos también usan números en lenguaje natural, por ejemplo, 100 se escribe como 壹佰, que nunca se puede falsificar en 壹仟 (1000) o 伍仟 壹佰 (5100).
Muchas de las ventajas reivindicadas para el sistema métrico podrían realizarse mediante cualquier notación posicional consistente. Los defensores de Dozenal dicen que duodecimal tiene varias ventajas sobre el decimal, aunque el costo de cambio parece ser alto.
Matemáticas
Base del sistema de numeración
En los sistemas de numeración matemática, la base r suele ser el número de dígitos únicos , incluido el cero, que utiliza un sistema de numeración posicional para representar números. En los casos interesantes, la base es el valor absoluto. de la base b , que también puede ser negativa. Por ejemplo, para el sistema decimal, la raíz (y la base) es diez, porque usa los diez dígitos del 0 al 9. Cuando un número "golpea" 9, el siguiente número no será otro símbolo diferente, sino un "1". seguido de un "0". En binario, la base es dos, ya que después de llegar a "1", en lugar de "2" u otro símbolo escrito, salta directamente a "10", seguido de "11" y "100".
El símbolo más alto de un sistema de numeración posicional generalmente tiene el valor uno menos que el valor de la base de ese sistema de numeración. Los sistemas de numeración posicional estándar se diferencian entre sí solo en la base que utilizan.
La base es un número entero mayor que 1, ya que una base de cero no tendría ningún dígito y una base de 1 solo tendría el dígito cero. Rara vez se utilizan bases negativas. En un sistema con más de dígitos únicos, los números pueden tener muchas representaciones posibles diferentes.
Es importante que la base sea finita, de lo que se deduce que el número de dígitos es bastante bajo. De lo contrario, la longitud de un número no sería necesariamente logarítmico en su tamaño.
(En ciertos sistemas numéricos posicionales no estándar , incluida la numeración biyectiva , la definición de la base o los dígitos permitidos se desvía de lo anterior).
En la notación posicional estándar de base diez (decimal), hay diez dígitos decimales y el número
- .
En base dieciséis estándar ( hexadecimal ), hay dieciséis dígitos hexadecimales (0–9 y A – F) y el número
donde B representa el número once como un solo símbolo.
En general, en base- b , hay b dígitos y el numero
posee Tenga en cuenta que representa una secuencia de dígitos, no una multiplicación .
Notación
Cuando se describe la base en notación matemática , la letra b se usa generalmente como símbolo de este concepto, por lo que, para un sistema binario , b es igual a 2. Otra forma común de expresar la base es escribirla como un subíndice decimal después del número que es siendo representado (esta notación se utiliza en este artículo). 1111011 2 implica que el número 1111011 es un número de base 2, igual a 123 10 (una representación de notación decimal ), 173 8 ( octal ) y 7B 16 ( hexadecimal ). En libros y artículos, cuando se utilizan inicialmente las abreviaturas escritas de bases numéricas, la base no se imprime posteriormente: se supone que el binario 1111011 es igual que 1111011 2 .
La base b también puede estar indicada por la frase "base- b ". Entonces los números binarios son "base-2"; los números octales son "base-8"; los números decimales son "base-10"; y así.
Para una base b dada, el conjunto de dígitos {0, 1, ..., b −2, b −1} se denomina conjunto estándar de dígitos. Por tanto, los números binarios tienen dígitos {0, 1}; los números decimales tienen dígitos {0, 1, 2, ..., 8, 9}; y así. Por lo tanto, los siguientes son errores de notación: 52 2 , 2 2 , 1A 9 . (En todos los casos, uno o más dígitos no están en el conjunto de dígitos permitidos para la base dada).
Exponenciación
Los sistemas de numeración posicional funcionan usando exponenciación de la base. El valor de un dígito es el dígito multiplicado por el valor de su lugar. Los valores posicionales son el número de la base elevado a la n- ésima potencia, donde n es el número de otros dígitos entre un dígito dado y el punto de la base . Si un dígito dado está en el lado izquierdo del punto de base (es decir, su valor es un número entero ) entonces n es positivo o cero; si el dígito está en el lado derecho del punto de la base (es decir, su valor es fraccionario) entonces n es negativo.
Como ejemplo de uso, el número 465 en su base b respectiva (que debe ser al menos base 7 porque el dígito más alto es 6) es igual a:
Si el número 465 estuviera en base 10, entonces sería igual a:
(465 10 = 465 10 )
Sin embargo, si el número estuviera en base 7, sería igual a:
(465 7 = 243 10 )
10 b = b para cualquier base b , ya que 10 b = 1 × b 1 + 0 × b 0 . Por ejemplo, 10 2 = 2; 10 3 = 3; 10 16 = 16 10 . Tenga en cuenta que se indica que el último "16" está en la base 10. La base no hace ninguna diferencia para los números de un dígito.
Este concepto se puede demostrar mediante un diagrama. Un objeto representa una unidad. Cuando el número de objetos es igual o mayor que la base b , se crea un grupo de objetos con b objetos. Cuando el número de estos grupos excede b , entonces se crea un grupo de estos grupos de objetos con b grupos de b objetos; y así. Por lo tanto, el mismo número en diferentes bases tendrá diferentes valores:
241 en base 5: 2 grupos de 5 2 (25) 4 grupos de 5 1 grupo de 1 ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo + + o ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo
241 en base 8: 2 grupos de 8 2 (64) 4 grupos de 8 1 grupo de 1 oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo + + o oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo
La notación se puede aumentar aún más permitiendo un signo menos inicial. Esto permite la representación de números negativos. Para una base dada, cada representación corresponde exactamente a un número real y cada número real tiene al menos una representación. Las representaciones de números racionales son aquellas representaciones que son finitas, usan la notación de barra o terminan con un ciclo infinitamente repetido de dígitos.
Dígitos y numerales
Un dígito es un símbolo que se utiliza para la notación posicional, y un número consta de uno o más dígitos utilizados para representar un número con notación posicional. Los dígitos más comunes de hoy son los dígitos decimales "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" y "9". La distinción entre un dígito y un número es más pronunciada en el contexto de una base numérica.
Un no-cero numeral con más de una posición de dígito significará un número diferente en una base de número diferente, pero en general, los dígitos significará lo mismo. [12] Por ejemplo, el número de base 8 23 8 contiene dos dígitos, "2" y "3", y con un número de base (subindicado) "8". Cuando se convierte a base 10, el 23 8 es equivalente a 19 10 , es decir, 23 8 = 19 10 . En nuestra notación aquí, el subíndice " 8 " del numeral 23 8 es parte del numeral, pero este no siempre es el caso.
Imagine que el número "23" tiene un número base ambiguo . Entonces "23" probablemente podría ser cualquier base, desde la base 4 hacia arriba. En base 4, el "23" significa 11 10 , es decir, 23 4 = 11 10 . En base 60, el "23" significa el número 123 10 , es decir, 23 60 = 123 10 . El numeral "23" entonces, en este caso, corresponde al conjunto de números de base 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 , ..., 121, 123} mientras que sus dígitos "2" y El "3" siempre conserva su significado original: el "2" significa "dos de" y el "3" tres.
En ciertas aplicaciones, cuando un número con un número fijo de posiciones necesita representar un número mayor, se puede usar una base numérica más alta con más dígitos por posición. Un número decimal de tres dígitos solo puede representar hasta 999 . Pero si la base numérica se incrementa a 11, digamos, agregando el dígito "A", entonces las mismas tres posiciones, maximizadas a "AAA", pueden representar un número tan grande como 1330 . Podríamos aumentar la base numérica nuevamente y asignar "B" a 11, y así sucesivamente (pero también hay una posible encriptación entre número y dígito en la jerarquía número-dígito-numeral). Un número de tres dígitos "ZZZ" en base 60 podría significar215 999 . Si usamos toda la colección de nuestros alfanuméricos , finalmentepodríamos utilizarunsistema numérico debase 62 , pero eliminamos dos dígitos, la "I" mayúscula y la "O" mayúscula, para reducir la confusión con los dígitos "1" y "0". [13] Nos quedamos con un sistema numérico de base 60, o sexagesimal, que utiliza 60 de los 62 alfanuméricos estándar. (Pero vea el sistema sexagesimal a continuación.) En general, el número de valores posibles que pueden ser representados por un número de dígitos en la base es .
Los sistemas numéricos comunes en la informática son binarios (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16). En binario, solo los dígitos "0" y "1" están en los números. En los números octales , están los ocho dígitos del 0 al 7. Hex es 0–9 A – F, donde los diez números conservan su significado habitual, y el alfabeto corresponde a los valores 10–15, para un total de dieciséis dígitos. El número "10" es el número binario "2", el número octal "8" o el número hexadecimal "16".
Punto de radix
La notación se puede extender a los exponentes negativos de la base b . De este modo, el llamado punto de base, en su mayoría ».«, Se utiliza como separador de las posiciones con exponente no negativo de aquellas con exponente negativo.
Los números que no son enteros usan lugares más allá del punto de la base . Para cada posición detrás de este punto (y por lo tanto después del dígito de las unidades), el exponente n de la potencia b n disminuye en 1 y la potencia se acerca a 0. Por ejemplo, el número 2.35 es igual a:
Firmar
Si la base y todos los dígitos del conjunto de dígitos no son negativos, no se pueden expresar números negativos. Para superar esto, se agrega un signo menos , aquí »-«, al sistema numérico. En la notación habitual, se antepone a la cadena de dígitos que representan el número de otro modo no negativo.
Conversión base
La conversión a base de un entero n representado en basepuede hacerse mediante una sucesión de divisiones euclidianas por el dígito más a la derecha en la base es el resto de la división de n por el segundo dígito más a la derecha es el resto de la división del cociente entre y así. Más precisamente, el k- ésimo dígito de la derecha es el resto de la división pordel cociente ( k −1) .
Por ejemplo: convertir A10B Hex a decimal (41227):
0xA10B / 10 = 0x101A R: 7 (lugar de las unidades)0x101A / 10 = 0x19C R: 2 (lugar de las decenas) 0x19C / 10 = 0x29 R: 2 (lugar de las centenas) 0x29 / 10 = 0x4 R: 1 ... 0x4 / 10 = 0x0 R: 4
Al convertir a una base más grande (como de binario a decimal), el resto representa como un solo dígito, utilizando dígitos de . Por ejemplo: convertir 0b11111001 (binario) a 249 (decimal):
0b11111001 / 10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" para el lugar de las unidades) 0b11000 / 10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = "4" para decenas) 0b10 / 10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 = "2" para cientos)
Para la parte fraccionaria , la conversión se puede hacer tomando dígitos después del punto de la base (el numerador) y dividiéndolo por el denominador implícito en la base de destino. Es posible que se necesite una aproximación debido a la posibilidad de dígitos que no terminen si el denominador de la fracción reducida tiene un factor primo distinto de cualquiera de los factores primos de la base para convertir. Por ejemplo, 0.1 en decimal (1/10) es 0b1 / 0b1010 en binario, al dividir esto en esa base, el resultado es 0b0.0 0011 (porque uno de los factores primos de 10 es 5). Para ver fracciones y bases más generales, consulte el algoritmo para bases positivas .
En la práctica, el método de Horner es más eficiente que la división repetida requerida arriba [14] [se necesita una mejor fuente ] . Un número en notación posicional se puede considerar como un polinomio, donde cada dígito es un coeficiente. Los coeficientes pueden ser mayores que un dígito, por lo que una forma eficiente de convertir bases es convertir cada dígito y luego evaluar el polinomio mediante el método de Horner dentro de la base objetivo. La conversión de cada dígito es una tabla de búsqueda simple , eliminando la necesidad de operaciones costosas de división o módulo; y la multiplicación por x se convierte en desplazamiento a la derecha. Sin embargo, otros algoritmos de evaluación de polinomios también funcionarían, como el cuadrado repetido para dígitos simples o dispersos. Ejemplo:
Convertir 0xA10B en 41227 A10B = (10 * 16 ^ 3) + (1 * 16 ^ 2) + (0 * 16 ^ 1) + (11 * 16 ^ 0) Tabla de búsqueda: 0x0 = 0 0x1 = 1 ... 0x9 = 9 0xA = 10 0xB = 11 0xC = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 Por lo tanto, los dígitos decimales de 0xA10B son 10, 1, 0 y 11. Distribuya los dígitos de esta manera. El dígito más significativo (10) se "elimina": 10 1 0 11 <- Dígitos de 0xA10B --------------- 10 Luego multiplicamos el número inferior de la base de origen (16), el producto se coloca debajo del siguiente dígito del valor de origen y luego sumamos: 10 1 0 11 160 --------------- 10 161 Repita hasta que se realice la adición final: 10 1 0 11 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227 y eso es 41227 en decimal.
Convertir 0b11111001 en 249 Tabla de búsqueda: 0b0 = 0 0b1 = 1Resultado: 1 1 1 1 1 0 0 1 <- Dígitos de 0b11111001 2 6 14 30 62 124 248 ------------------------- 1 3 7 15 31 62 124 249
Terminar fracciones
Los números que tienen una representación finita forman el semiring
Más explícitamente, si es una factorización de en los números primos con exponentes , [15] luego con el conjunto de denominadores no vacío tenemos
dónde es el grupo generado por el y es la llamada localización de con respecto a .
El denominador de un elemento de contiene si se reduce a los términos más bajos sólo factores primos de . Este anillo de todas las fracciones terminales a la basees denso en el campo de los números racionales . Su finalización para la métrica habitual (de Arquímedes) es la misma que para, a saber, los números reales . Así que si luego no debe confundirse con , el anillo de valoración discreto para el principal , que es igual a con .
Si divide , tenemos
Representaciones infinitas
Numeros racionales
La representación de números no enteros se puede ampliar para permitir una cadena infinita de dígitos más allá del punto. Por ejemplo, 1.12112111211112 ... base-3 representa la suma de la serie infinita :
Dado que una cadena infinita completa de dígitos no se puede escribir explícitamente, la elipsis final (...) designa los dígitos omitidos, que pueden o no seguir un patrón de algún tipo. Un patrón común es cuando una secuencia finita de dígitos se repite infinitamente. Esto se designa dibujando un vinculum a través del bloque repetido:
Esta es la notación decimal repetida (para la cual no existe una sola notación o fraseo universalmente aceptado). Para la base 10 se llama decimal periódico o decimal periódico.
Un número irracional tiene una representación infinita no repetida en todas las bases enteras. Si un número racional tiene una representación finita o requiere una representación repetida infinita depende de la base. Por ejemplo, un tercio puede estar representado por:
- o, con la base implícita:
- (ver también 0.999 ... )
Para enteros p y q con gcd ( p , q ) = 1, la fracción p / q tiene una representación finita en la base b , si y sólo si cada factor primo de q es también un factor principal de b .
Para una base dada, cualquier número que pueda ser representado por un número finito de dígitos (sin usar la notación de barra) tendrá múltiples representaciones, incluyendo una o dos representaciones infinitas:
- 1. Se puede agregar un número finito o infinito de ceros:
- 2. El último dígito distinto de cero se puede reducir en uno y se agrega una cadena infinita de dígitos, cada uno correspondiente a uno menos que la base (o reemplaza cualquier dígito cero siguiente):
- (ver también 0.999 ... )
Numeros irracionales
Un número irracional (real) tiene una representación infinita no repetitiva en todas las bases enteras.
Algunos ejemplos son las raíces n- ésimas no solubles
con y y ∉ Q , números que se llaman algebraicos , o números como
que son trascendentales . El número de trascendentales es incontable y la única forma de escribirlos con un número finito de símbolos es dándoles un símbolo o una secuencia finita de símbolos.
Aplicaciones
Sistema decimal
En el sistema numérico hindú-árabe decimal (base 10) , cada posición que comienza desde la derecha es una potencia superior de 10. La primera posición representa 10 0 (1), la segunda posición 10 1 (10), la tercera posición 10 2 ( 10 × 10 o 100), la cuarta posición 10 3 ( 10 × 10 × 10 o 1000), y así sucesivamente.
Los valores fraccionarios se indican mediante un separador , que puede variar en diferentes ubicaciones. Por lo general, este separador es un punto , un punto o una coma . Los dígitos a la derecha se multiplican por 10 elevados a una potencia negativa o exponente. La primera posición a la derecha del separador indica 10 -1 (0,1), la segunda posición 10 -2 (0,01) y así sucesivamente para cada posición sucesiva.
Como ejemplo, el número 2674 en un sistema numérico de base 10 es:
- (2 × 10 3 ) + (6 × 10 2 ) + (7 × 10 1 ) + (4 × 10 0 )
o
- (2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).
Sistema sexagesimal
El sistema sexagesimal o de base 60 fue utilizado para las porciones integrales y fraccionarias de los números babilónicos y otros sistemas mesopotámicos, por astrónomos helenísticos que usaban números griegos solo para la porción fraccionaria, y todavía se usa para tiempos y ángulos modernos, pero solo para minutos y segundos. Sin embargo, no todos estos usos fueron posicionales.
El tiempo moderno separa cada posición por dos puntos o un símbolo principal . Por ejemplo, el tiempo podría ser 10:25:59 (10 horas 25 minutos 59 segundos). Los ángulos usan una notación similar. Por ejemplo, un ángulo podría ser 10 ° 25′59 ″ (10 grados 25 minutos 59 segundos ). En ambos casos, solo los minutos y los segundos usan notación sexagesimal: los grados angulares pueden ser mayores que 59 (una rotación alrededor de un círculo es 360 °, dos rotaciones son 720 °, etc.), y tanto el tiempo como los ángulos usan fracciones decimales de un segundo . [ cita requerida ] Esto contrasta con los números utilizados por los astrónomos helenísticos y renacentistas , que utilizaron tercios , cuartos , etc. para incrementos más finos. Donde podríamos escribir 10 ° 25′59.392 ″ , habrían escrito 10 ° 2559233112o 10 ° 25 i 59ii 23iii 31iv 12v .
El uso de un conjunto de dígitos con letras mayúsculas y minúsculas permite una notación corta para números sexagesimales, por ejemplo, 10:25:59 se convierte en 'ARz' (al omitir I y O, pero no iyo), que es útil para usar en URL, etc., pero no es muy inteligible para los humanos.
En la década de 1930, Otto Neugebauer introdujo un sistema de notación moderno para números babilónicos y helenísticos que sustituye la notación decimal moderna de 0 a 59 en cada posición, mientras usa un punto y coma (;) para separar las partes integrales y fraccionarias del número y usa una coma. (,) para separar las posiciones dentro de cada porción. [16] Por ejemplo, el mes sinódico medio utilizado por los astrónomos babilónicos y helenísticos y que todavía se utiliza en el calendario hebreo es 29; 31,50,8,20 días, y el ángulo utilizado en el ejemplo anterior se escribiría 10; 25 , 59,23,31,12 grados.
Informática
En informática , las bases binarias (base-2), octales (base-8) y hexadecimales (base-16) son las más utilizadas. Las computadoras, en el nivel más básico, tratan solo con secuencias de ceros y unos convencionales, por lo que es más fácil en este sentido tratar con potencias de dos. El sistema hexadecimal se utiliza como "abreviatura" de binario: cada 4 dígitos binarios (bits) se relacionan con un solo dígito hexadecimal. En hexadecimal, los seis dígitos después del 9 se indican con A, B, C, D, E y F (y, a veces, a, b, c, d, e y f).
El sistema de numeración octal también se utiliza como otra forma de representar números binarios. En este caso, la base es 8 y, por lo tanto, solo se utilizan los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Al convertir de binario a octal, cada 3 bits se relacionan con un solo dígito octal.
Se han utilizado bases hexadecimales, decimales, octales y una amplia variedad de otras bases para la codificación de binario a texto , implementaciones de aritmética de precisión arbitraria y otras aplicaciones.
Para obtener una lista de bases y sus aplicaciones, consulte la lista de sistemas numéricos .
Otras bases en el lenguaje humano
Los sistemas de base 12 ( duodecimal o dozenal) han sido populares porque la multiplicación y la división son más fáciles que en base-10, y la suma y la resta son igual de fáciles. Doce es una base útil porque tiene muchos factores . Es el mínimo común múltiplo de uno, dos, tres, cuatro y seis. Todavía hay una palabra especial para "docena" en inglés y, por analogía con la palabra para 10 2 , cien , el comercio desarrolló una palabra para 12 2 , bruto . El reloj estándar de 12 horas y el uso común de 12 en unidades inglesas enfatizan la utilidad de la base. Además, antes de su conversión a decimal, la antigua moneda británica, la libra esterlina (GBP), utilizaba parcialmente la base 12; había 12 peniques (d) en un chelín (s), 20 chelines en una libra (£) y, por lo tanto, 240 peniques en una libra. De ahí el término LSD o, más propiamente, £ sd .
La civilización maya y otras civilizaciones de la Mesoamérica precolombina utilizaron base-20 ( vigesimal ), al igual que varias tribus norteamericanas (dos de ellas en el sur de California). La evidencia de sistemas de conteo de base 20 también se encuentra en los idiomas de África central y occidental .
Los restos de un sistema galo de base 20 también existen en francés, como se ve hoy en los nombres de los números del 60 al 99. Por ejemplo, sesenta y cinco es soixante-cinq (literalmente, "sesenta [y] cinco"), mientras que setenta y cinco es soixante-quinze (literalmente, "sesenta [y] quince"). Además, para cualquier número entre 80 y 99, el número de la "columna de las decenas" se expresa como un múltiplo de veinte. Por ejemplo, ochenta y dos es quatre-vingt-deux (literalmente, cuatro veinte [s] [y] dos), mientras que noventa y dos es quatre-vingt-douze (literalmente, cuatro veinte [s] [y] doce). En francés antiguo, cuarenta se expresaba como dos veinte y sesenta eran tres veinte, de modo que cincuenta y tres se expresaban como dos veinte [y] trece, y así sucesivamente.
En inglés, el mismo conteo en base 20 aparece en el uso de " puntajes ". Aunque principalmente histórico, ocasionalmente se usa coloquialmente. El versículo 10 del Salmo 90 en la versión King James de la Biblia comienza: "Los días de nuestros años son sesenta años y diez; y si en razón de la fuerza son ochenta años, sin embargo, su fuerza es trabajo y dolor". El discurso de Gettysburg comienza: "Hace cuatro y siete años".
El idioma irlandés también usó base-20 en el pasado, siendo veinte fichid , cuarenta dhá fhichid , sesenta trí fhichid y ochenta ceithre fhichid . Un remanente de este sistema puede verse en la palabra moderna para 40, daoichead .
El idioma galés continúa utilizando un sistema de conteo de base 20 , particularmente para la edad de las personas, fechas y frases comunes. 15 también es importante, siendo 16-19 "uno sobre 15", "dos sobre 15", etc. 18 es normalmente "dos nueves". Se suele utilizar un sistema decimal.
Los idiomas inuit utilizan un sistema de conteo de base 20 . Los estudiantes de Kaktovik, Alaska inventaron un sistema de entumecimiento de base 20 en 1994 [17]
Los números daneses muestran una estructura similar en base 20 .
El idioma maorí de Nueva Zelanda también tiene evidencia de un sistema de base 20 subyacente como se ve en los términos Te Hokowhitu a Tu que se refieren a un grupo de guerra (literalmente "los siete años 20 de Tu") y Tama-hokotahi , que se refiere a un gran guerrero. ("el hombre es igual a 20").
El sistema binario se utilizó en el Imperio Antiguo de Egipto, 3000 a. C. a 2050 a. C. Era cursiva redondeando números racionales menores de 1 a 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 , con un término de 1/64 descartado (el sistema se llamaba el Ojo de Horus ).
Varias lenguas aborígenes australianas emplean sistemas de conteo binarios o de tipo binario. Por ejemplo, en Kala Lagaw Ya , los números del uno al seis son urapon , ukasar , ukasar-urapon , ukasar-ukasar , ukasar-ukasar-urapon , ukasar-ukasar-ukasar .
Los nativos de América del Norte y Centroamérica utilizaron la base 4 ( cuaternario ) para representar las cuatro direcciones cardinales. Los mesoamericanos tendían a agregar un segundo sistema de base 5 para crear un sistema de base 20 modificado.
En muchas culturas se ha utilizado un sistema de base 5 ( quinario ) para contar. Claramente, se basa en el número de dígitos de una mano humana. También se puede considerar como una subbase de otras bases, como base-10, base-20 y base-60.
Un sistema de base 8 ( octal ) fue ideado por la tribu Yuki del norte de California, que usaba los espacios entre los dedos para contar, correspondientes a los dígitos del uno al ocho. [18] También hay evidencia lingüística que sugiere que los protoindoeuropeos de la Edad del Bronce (de los cuales descienden la mayoría de las lenguas europeas e índicas) podrían haber reemplazado un sistema de base 8 (o un sistema que solo podía contar hasta 8) con un sistema base-10. La evidencia es que algunos sugieren que la palabra 9, newm , se deriva de la palabra "nuevo", newo- , lo que sugiere que el número 9 se había inventado recientemente y se le llama "nuevo número". [19]
Muchos sistemas de conteo antiguos usan cinco como base principal, casi seguramente proveniente del número de dedos de la mano de una persona. A menudo, estos sistemas se complementan con una base secundaria, a veces diez, a veces veinte. En algunos idiomas africanos, la palabra cinco es lo mismo que "mano" o "puño" ( idioma Dyola de Guinea-Bissau , idioma Banda de África Central ). El conteo continúa agregando 1, 2, 3 o 4 a combinaciones de 5, hasta que se alcanza la base secundaria. En el caso de veinte, esta palabra a menudo significa "hombre completo". Este sistema se conoce como quinquavigesimal . Se encuentra en muchos idiomas de la región de Sudán .
El idioma Telefol , hablado en Papúa Nueva Guinea , se destaca por poseer un sistema numérico de base 27.
Sistemas de numeración posicional no estándar
Existen propiedades interesantes cuando la base no es fija o positiva y cuando los conjuntos de símbolos de dígitos denotan valores negativos. Hay muchas más variaciones. Estos sistemas son de valor teórico y práctico para los informáticos.
El ternario equilibrado [20] utiliza una base de 3, pero el conjunto de dígitos es { 1 , 0,1} en lugar de {0,1,2}. El " 1 " tiene un valor equivalente de -1. La negación de un número se forma fácilmente activando los unos . Este sistema se puede utilizar para resolver el problema del equilibrio , que requiere encontrar un conjunto mínimo de contrapesos conocidos para determinar un peso desconocido. Se pueden usar pesos de 1, 3, 9, ... 3 n unidades conocidas para determinar cualquier peso desconocido hasta 1 + 3 + ... + 3 n unidades. Se puede usar un peso en cualquier lado de la balanza o no se puede usar en absoluto. Los pesos usados en el platillo de la balanza con el peso desconocido se designan con 1 , con 1 si se usa en el platillo vacío y con 0 si no se usa. Si un peso desconocido W está balanceado con 3 (3 1 ) en su plato y 1 y 27 (3 0 y 3 3 ) en el otro, entonces su peso en decimal es 25 o 10 1 1 en base balanceada-3.
- 10 1 1 3 = 1 × 3 3 + 0 × 3 2 - 1 × 3 1 + 1 × 3 0 = 25.
El sistema de números factoriales usa una base variable, dando factoriales como valores posicionales; están relacionados con el teorema del residuo chino y las enumeraciones del sistema de número de residuo . Este sistema enumera efectivamente las permutaciones. Un derivado de esto utiliza la configuración del rompecabezas Towers of Hanoi como un sistema de conteo. La configuración de las torres se puede poner en correspondencia 1 a 1 con el recuento decimal del paso en el que ocurre la configuración y viceversa.
Equivalentes decimales | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Base equilibrada 3 | 1 0 | 1 1 | 1 | 0 | 1 | 1 1 | 10 | 11 | 1 1 1 | 1 1 0 | 1 1 1 | 10 1 |
Base -2 | 1101 | 10 | 11 | 0 | 1 | 110 | 111 | 100 | 101 | 11010 | 11011 | 11000 |
Factoroide | 0 | 10 | 100 | 110 | 200 | 210 | 1000 | 1010 | 1100 |
Posiciones no posicionales
Cada posición no necesita ser posicional en sí misma. Los numerales sexagesimales babilónicos eran posicionales, pero en cada posición había grupos de dos tipos de cuñas que representaban unidades y decenas (una cuña vertical estrecha (|) y una cuña abierta que apunta a la izquierda (<)) - hasta 14 símbolos por posición (5 decenas ( <<<<<) y 9 unos (|||||||||) agrupados en uno o dos cuadrados cercanos que contienen hasta tres niveles de símbolos, o un marcador de posición (\\) por la falta de una posición) . [21] Los astrónomos helenísticos utilizaron uno o dos números griegos alfabéticos para cada posición (uno elegido entre 5 letras que representan 10–50 y / o uno elegido entre 9 letras que representan 1–9, o un símbolo cero ). [22]
Ver también
Ejemplos:
- Lista de sistemas de numeración
- Categoría: Sistemas de numeración posicional
Temas relacionados:
- Algorismo
- Sistema de numeración hindú-árabe
- Raíz mixta
- Sistemas de numeración posicional no estándar
- Sistema de numeración
- Notación cientifica
Otro:
- Personajes importantes
Notas
- ^ Kaplan, Robert (2000). La nada que es: una historia natural de cero . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. pp. 11-12 - a través de archive.org.
- ^ "Números griegos" . Archivado desde el original el 26 de noviembre de 2016 . Consultado el 31 de mayo de 2016 .
- ^ Menninger, Karl : Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl , Vandenhoeck und Ruprecht, 3er. ed., 1979, ISBN 3-525-40725-4 , págs. 150-153
- ↑ Ifrah, página 187
- ^ LF Menabrea. Traducido por Ada Augusta, condesa de Lovelace. "Bosquejo del motor analítico inventado por Charles Babbage" Archivado el 15 de septiembre de 2008 en Wayback Machine . 1842.
- ^ a b Berggren, J. Lennart (2007). "Matemáticas en el Islam medieval". Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India e Islam: un libro de consulta . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
- ↑ Gandz, S .: La invención de las fracciones decimales y la aplicación del cálculo exponencial por Immanuel Bonfils de Tarascon (c. 1350), Isis 25 (1936), 16–45.
- ^ a b Lam Lay Yong , "El desarrollo de la aritmética chino hindú-árabe y tradicional", Ciencia china , 1996 p38, notación de Kurt Vogel
- ^ Lay Yong, Lam . "Un Génesis chino, reescribiendo la historia de nuestro sistema numérico". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 38 : 101-108.
- ^ BL van der Waerden (1985). Una historia del álgebra. De Khwarizmi a Emmy Noether . Berlín: Springer-Verlag.
- ↑ a b c E. J. Dijksterhuis (1970) Simon Stevin: Science in the Netherlands around 1600 , Martinus Nijhoff Publishers , original holandés de 1943
- ^ El dígito conservará su significado en otras bases numéricas, en general, porque una base numérica más alta normalmente sería una extensión de notación de la base numérica más baja en cualquier organización sistemática. En las ciencias matemáticas hay virtualmente un solo sistema numérico de notación posicional para cada base por debajo de 10, y esto se extiende con pocas, aunque insignificantes, variaciones en la elección de dígitos alfabéticos para aquellas bases por encima de 10.
- ^ Por logeneral, no eliminamos losdígitos en minúscula "l" y la "o" minúscula, ya que en la mayoría de las fuentes se distinguen entre los dígitos "1" y "0".
- ^ Usuario 'Gone'. "sistemas numéricos: cómo cambiar de base $ n $ a $ m $" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 6 de agosto de 2020 .
- ^ El tamaño exacto delno importa. Solo tienen que ser ≥ 1.
- ^ Neugebauer, Otto ; Sachs, Abraham Joseph ; Götze, Albrecht (1945), Textos matemáticos cuneiformes , American Oriental Series, 29 , New Haven: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, p. 2, archivado desde el original el 1 de octubre de 2016 , consultado el 18 de septiembre de 2019
- ^ Bartley, Wm. Clark (enero-febrero de 1997). "Hacer que la vieja manera cuente" (PDF) . Compartiendo nuestros caminos . 2 (1): 12-13. Archivado (PDF) desde el original el 25 de junio de 2013 . Consultado el 27 de febrero de 2017 .
- ^ Barrow, John D. (1992), Pi en el cielo: contar, pensar y ser , Clarendon Press, p. 38, ISBN 9780198539568.
- ^ (Mallory y Adams 1997) Enciclopedia de la cultura indoeuropea
- ^ Knuth , páginas 195-213
- ↑ Ifrah, páginas 326, 379
- ^ Ifrah, páginas 261–264
Referencias
- O'Connor, John; Robertson, Edmund (diciembre de 2000). "Números babilónicos" . Consultado el 21 de agosto de 2010 .
- Kadvany, John (diciembre de 2007). "Valor posicional y recursividad lingüística". Revista de filosofía india . 35 (5–6): 487–520. doi : 10.1007 / s10781-007-9025-5 . S2CID 52885600 .
- Knuth, Donald (1997). El arte de la programación informática . 2 . Addison-Wesley. págs. 195-213. ISBN 0-201-89684-2.
- Ifrah, George (2000). La historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención de la computadora . Wiley. ISBN 0-471-37568-3.
- Kroeber, Alfred (1976) [1925]. Manual de los indios de California . Publicaciones de Courier Dover. pag. 176. ISBN 9780486233680.
enlaces externos
- Conversión de base precisa
- El desarrollo de la aritmética hindú árabe y china tradicional
- Implementación de Conversión de Base al cortar el nudo
- Aprende a contar otras bases con los dedos.
- Convertidor de base de precisión arbitraria en línea